次の3つの不定積分を計算します。 1. $\int \frac{dx}{2x + \sqrt{2x-1}}$

1. 問題の内容

次の3つの不定積分を計算します。

1. $\int \frac{dx}{2x + \sqrt{2x-1}}$

2. $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - 2x + 3}}$

3. $\int \frac{dx}{\sqrt{-x^2 + 2x + 3}}$

2. 解き方の手順

1. $\int \frac{dx}{2x + \sqrt{2x-1}}$ について

$t = \sqrt{2x-1}$ と置換すると、$t^2 = 2x-1$ より $2x = t^2 + 1$ であり、$dx = t dt$ となります。したがって、

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\int \frac{dx}{2x + \sqrt{2x-1}} = \int \frac{t dt}{t^2 + 1 + t} = \int \frac{t dt}{t^2 + t + 1}

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ここで、$t^2 + t + 1 = (t + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$ なので、$u = t + \frac{1}{2}$ と置換すると、$du = dt$ かつ $t = u - \frac{1}{2}$ であるから、

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\int \frac{t dt}{t^2 + t + 1} = \int \frac{u - \frac{1}{2}}{u^2 + \frac{3}{4}} du = \int \frac{u}{u^2 + \frac{3}{4}} du - \frac{1}{2} \int \frac{du}{u^2 + \frac{3}{4}}

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ここで、$\int \frac{u}{u^2 + \frac{3}{4}} du = \frac{1}{2} \ln(u^2 + \frac{3}{4}) + C_1$ であり、$\int \frac{du}{u^2 + \frac{3}{4}} = \int \frac{du}{u^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{2u}{\sqrt{3}}) + C_2$ であるから、

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\int \frac{t dt}{t^2 + t + 1} = \frac{1}{2} \ln(u^2 + \frac{3}{4}) - \frac{1}{2} \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{2u}{\sqrt{3}}) + C = \frac{1}{2} \ln(t^2 + t + 1) - \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{2t+1}{\sqrt{3}}) + C

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したがって、

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\int \frac{dx}{2x + \sqrt{2x-1}} = \frac{1}{2} \ln(2x-1 + \sqrt{2x-1} + 1) - \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{2\sqrt{2x-1}+1}{\sqrt{3}}) + C = \frac{1}{2} \ln(2x + \sqrt{2x-1}) - \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{2\sqrt{2x-1}+1}{\sqrt{3}}) + C

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2. $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - 2x + 3}}$ について

$x^2 - 2x + 3 = (x-1)^2 + 2$ と変形できるので、$u = x - 1$ と置換すると、$du = dx$ であるから、

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\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - 2x + 3}} = \int \frac{du}{\sqrt{u^2 + 2}}

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これは $\sinh^{-1}(\frac{u}{\sqrt{2}}) + C$ であるから、

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\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - 2x + 3}} = \sinh^{-1}(\frac{x-1}{\sqrt{2}}) + C = \ln(x-1 + \sqrt{x^2 - 2x + 3}) + C

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3. $\int \frac{dx}{\sqrt{-x^2 + 2x + 3}}$ について

$-x^2 + 2x + 3 = -(x^2 - 2x) + 3 = -(x-1)^2 + 1 + 3 = 4 - (x-1)^2$ と変形できるので、$u = x-1$ と置換すると、$du = dx$ であるから、

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\int \frac{dx}{\sqrt{-x^2 + 2x + 3}} = \int \frac{du}{\sqrt{4 - u^2}} = \int \frac{du}{\sqrt{2^2 - u^2}} = \arcsin(\frac{u}{2}) + C

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したがって、

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\int \frac{dx}{\sqrt{-x^2 + 2x + 3}} = \arcsin(\frac{x-1}{2}) + C

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3. 最終的な答え

1. $\int \frac{dx}{2x + \sqrt{2x-1}} = \frac{1}{2} \ln(2x + \sqrt{2x-1}) - \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{2\sqrt{2x-1}+1}{\sqrt{3}}) + C$

2. $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - 2x + 3}} = \ln(x-1 + \sqrt{x^2 - 2x + 3}) + C$

3. $\int \frac{dx}{\sqrt{-x^2 + 2x + 3}} = \arcsin(\frac{x-1}{2}) + C$