領域 $D: 1 \le x \le 3, \frac{1}{x} \le y \le 2$ における重積分 $\iint_D ye^{xy} dxdy$ を計算します。

1. 問題の内容

領域 $D: 1 \le x \le 3, \frac{1}{x} \le y \le 2$ における重積分 $\iint_D ye^{xy} dxdy$ を計算します。

2. 解き方の手順

積分領域 $D$ は $x$ が $1$ から $3$ まで動き、$y$ が $\frac{1}{x}$ から $2$ まで動く領域なので、積分は次のようになります。

$\iint_D ye^{xy} dxdy = \int_{1}^{3} \int_{\frac{1}{x}}^{2} ye^{xy} dy dx$

積分順序を入れ替えることを考えます。

領域 $D$ は $1 \le x \le 3$ かつ $\frac{1}{x} \le y \le 2$ を満たす領域です。

$y$ の範囲は $\frac{1}{3} \le y \le 2$ となります。$x$ の範囲を $y$ で表すと、$\frac{1}{x} \le y$ より $x \ge \frac{1}{y}$ であり、$1 \le x \le 3$ より $x = 3$ となる条件は $y \le 1/1 = 1$ と $x=1$ となる条件は $y \le 1$なので、$1/3 \le y \le 1$のとき$1/y \le x \le 3$, $1 \le y \le 2$のとき$1/y \le x \le 3$なので、以下のように分解できます。

$\iint_D ye^{xy} dxdy = \int_{1/3}^{1} \int_{1/y}^{3} ye^{xy} dx dy + \int_{1}^{2} \int_{1/y}^{3} ye^{xy} dx dy$

しかし、積分順序を入れ替えるよりも、そのままの順序で積分する方が簡単です。

まず、$y$ で積分します。

$\int_{\frac{1}{x}}^{2} ye^{xy} dy = \int_{\frac{1}{x}}^{2} \frac{1}{x} (xy)e^{xy} dy = \frac{1}{x} [(xy-1)e^{xy}]_{\frac{1}{x}}^{2}$

$= \frac{1}{x} [(2x-1)e^{2x} - (1-1)e^{1}] = \frac{1}{x} (2x-1)e^{2x} = (2 - \frac{1}{x}) e^{2x}$

よって

$\int_{1}^{3} (2 - \frac{1}{x})e^{2x} dx = \int_{1}^{3} 2e^{2x} dx - \int_{1}^{3} \frac{1}{x} e^{2x} dx$

ここで、積分順序を入れ替えることで、より簡単に計算できる可能性があります。

$\int_{1}^{3} \int_{\frac{1}{x}}^{2} ye^{xy} dy dx = \int_{1/3}^{2} \int_{\frac{1}{y}}^{3} ye^{xy} dx dy$

$\int_{\frac{1}{y}}^{3} ye^{xy} dx = y \left[ \frac{e^{xy}}{y} \right]_{\frac{1}{y}}^{3} = e^{3y} - e^{1} = e^{3y} - e$

$\int_{1/3}^{2} (e^{3y} - e) dy = \left[ \frac{1}{3} e^{3y} - ey \right]_{1/3}^{2} = \frac{1}{3} e^{6} - 2e - (\frac{1}{3} e^{1} - \frac{1}{3}e) = \frac{1}{3}e^{6} - 2e$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}e^{6} - 2e$