直線 $y = \sqrt{3}x + 5$ となす角が $\pm \frac{\pi}{3}$ であり、この直線上の点 $(0, 5)$ で交わる直線を求める。

画像に掲載されている数学の問題を解きます。

**問題1**

1. 問題の内容

直線 $y = \sqrt{3}x + 5$ となす角が $\pm \frac{\pi}{3}$ であり、この直線上の点 $(0, 5)$ で交わる直線を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた直線の傾きは $\sqrt{3}$ である。この直線の傾きから、この直線とx軸のなす角を求めると、$\theta = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$ である。

求める直線は、与えられた直線となす角が $\pm \frac{\pi}{3}$ であるため、傾きは $\tan(\frac{\pi}{3} \pm \frac{\pi}{3})$ となる。

$\tan(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}) = \tan(\frac{2\pi}{3}) = -\sqrt{3}$

$\tan(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3}) = \tan(0) = 0$

したがって、求める直線の傾きは$-\sqrt{3}$ または $0$である。

また、求める直線は点 $(0, 5)$ を通る。

傾きが$-\sqrt{3}$の場合、直線の方程式は $y = -\sqrt{3}x + 5$ である。

傾きが$0$の場合、直線の方程式は $y = 5$ である。

3. 最終的な答え

$y = -\sqrt{3}x + 5$, $y = 5$

**問題2**

1. 問題の内容

$\sin \theta - \sin(\theta + \frac{2\pi}{3})\sin(\theta + \frac{4\pi}{3})$ の値を求める。

2. 解き方の手順

三角関数の積和の公式を用いる。

$\sin(\theta + \frac{2\pi}{3})\sin(\theta + \frac{4\pi}{3}) = \frac{1}{2} [\cos((\theta + \frac{2\pi}{3}) - (\theta + \frac{4\pi}{3})) - \cos((\theta + \frac{2\pi}{3}) + (\theta + \frac{4\pi}{3}))]$

$= \frac{1}{2}[\cos(-\frac{2\pi}{3}) - \cos(2\theta + 2\pi)]$

$= \frac{1}{2}[-\frac{1}{2} - \cos(2\theta)]$

したがって、

$\sin \theta - \sin(\theta + \frac{2\pi}{3})\sin(\theta + \frac{4\pi}{3}) = \sin \theta - \frac{1}{2}[-\frac{1}{2} - \cos(2\theta)]$

$= \sin \theta + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos(2\theta)$

$= \sin \theta + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}(1 - 2\sin^2 \theta)$

$= \sin \theta + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \sin^2 \theta$

$= -\sin^2 \theta + \sin \theta + \frac{3}{4}$

ここで、$\sin \theta$ の値によらずに値が求まるかどうかを確認する必要がある。

$\theta = 0$ とすると、$\sin 0 - \sin(\frac{2\pi}{3})\sin(\frac{4\pi}{3}) = 0 - (\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3}{4}$

一方、$-\sin^2 0 + \sin 0 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$

$\cos(-\frac{2\pi}{3})=-\frac{1}{2}$ なので

$\sin \theta - \frac{1}{2}[-\frac{1}{2} - cos(2\theta)]=\sin \theta+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}cos(2\theta)$

$\sin \theta - \frac{1}{2}[\cos((\theta+\frac{2}{3}\pi) - (\theta+\frac{4}{3}\pi))-\cos((\theta+\frac{2}{3}\pi) + (\theta+\frac{4}{3}\pi))]=\sin \theta - \frac{1}{2}[\cos(\frac{-2}{3}\pi) - \cos(2\theta+2\pi)]=\sin \theta - \frac{1}{2}[\cos(\frac{-2}{3}\pi) - \cos(2\theta)] = \sin \theta - \frac{1}{2}[\frac{-1}{2} - \cos(2\theta)]=\sin \theta + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos(2\theta) = \sin \theta + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}[1 - 2\sin^2\theta]=\sin \theta + \frac{1}{4}+\frac{1}{2} - \sin^2\theta = -\sin^2 \theta + \sin \theta +\frac{3}{4} = -( \sin \theta - \frac{1}{2})^2+\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = -( \sin \theta - \frac{1}{2})^2+1$

もし $\theta = \frac{\pi}{2}$ なら $-\frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4}$ となる.

$\sin (\frac{\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{3}) \sin (\frac{\pi}{2} + \frac{4\pi}{3}) = 1 - \sin(\frac{7\pi}{6})\sin(\frac{11\pi}{6}) = 1 - (-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

なので恒等式？

この式は θ によらない定数。 $\theta=0$の時を計算すると、$\sin 0 - \sin \frac{2}{3} \pi \sin \frac{4}{3} \pi = 0 - \frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{-\sqrt{3}}{2}) = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}$

**問題3**

1. 問題の内容

$\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta$ を $\sin(\theta + \alpha)$ の形で表し、$-\pi \leq \theta \leq \pi$ における最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

$\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta = 2(\frac{1}{2}\sin \theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta) = 2(\cos(\frac{\pi}{3})\sin \theta - \sin(\frac{\pi}{3})\cos \theta) = 2\sin(\theta - \frac{\pi}{3})$

$-\pi \leq \theta \leq \pi$ より、$-\pi - \frac{\pi}{3} \leq \theta - \frac{\pi}{3} \leq \pi - \frac{\pi}{3}$

$-\frac{4\pi}{3} \leq \theta - \frac{\pi}{3} \leq \frac{2\pi}{3}$

$\sin$ の最大値は 1、最小値は -1 なので、

最大値は $2 \cdot 1 = 2$ ($\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} \Rightarrow \theta = \frac{5\pi}{6}$)

最小値は $2 \cdot (-1) = -2$ ($\theta - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} \Rightarrow \theta = -\frac{\pi}{6}$)ではない、$-\frac{4\pi}{3}$までしか動かない。$\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{-\pi}{2}$なら $\theta=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2} = \frac{-\pi}{6}$

$\theta - \frac{\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3} \rightarrow \theta = -\pi$ 最大値 $\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} \rightarrow \theta = \frac{5\pi}{6}$

$\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \rightarrow \theta = \pi$

3. 最終的な答え

$\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta = 2\sin(\theta - \frac{\pi}{3})$

最大値: 2 ( $\theta = \frac{5\pi}{6}$ )

最小値: $-\sqrt{3}$ ( $\theta=-\pi$ )

**問題4**

1. 問題の内容

$\cos 2\theta > \sin \theta$ ( $0 \leq \theta < 2\pi$ ) を解く。

2. 解き方の手順

$\cos 2\theta > \sin \theta$

$1 - 2\sin^2 \theta > \sin \theta$

$2\sin^2 \theta + \sin \theta - 1 < 0$

$(2\sin \theta - 1)(\sin \theta + 1) < 0$

$-1 < \sin \theta < \frac{1}{2}$

$\sin \theta = -1$ の時は $\theta = \frac{3\pi}{2}$ , sin θ = 1/2 の時は $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

$\sin \theta > -1$ なので $\theta \neq \frac{3\pi}{2}$.

したがって、$\frac{5\pi}{6} < \theta < \frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi + \frac{\pi}{6}$ となる。

3. 最終的な答え

$\frac{5\pi}{6} < \theta < \frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} < \theta < \frac{13\pi}{6}$

**問題5**

1. 問題の内容

$y = 4\sin \theta - \cos 2\theta + 3$ ( $0 \leq \theta < 2\pi$ ) の最大値と最小値、及びそのときの $\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$y = 4\sin \theta - (1 - 2\sin^2 \theta) + 3 = 2\sin^2 \theta + 4\sin \theta + 2 = 2(\sin^2 \theta + 2\sin \theta + 1) = 2(\sin \theta + 1)^2$

$-1 \leq \sin \theta \leq 1$ より、

$\sin \theta = 1$ のとき、最大値 $2(1+1)^2 = 8$, $\theta = \frac{\pi}{2}$

$\sin \theta = -1$ のとき、最小値 $2(-1+1)^2 = 0$, $\theta = \frac{3\pi}{2}$

3. 最終的な答え

最大値: 8 ( $\theta = \frac{\pi}{2}$ )

最小値: 0 ( $\theta = \frac{3\pi}{2}$ )

**問題6**

1. 問題の内容

関数 $y = \sin^2 x \cos x + \sin x \cos^2 x + \sin x \cos x$ ($0 \leq x \leq \pi$) において $t = \sin x + \cos x$ とおくとき、以下の問いに答える。

(1) t のとり得る値の範囲を求めよ。

(2) y の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$

$0 \leq x \leq \pi$ より、$\frac{\pi}{4} \leq x + \frac{\pi}{4} \leq \frac{5\pi}{4}$

$\sin(x + \frac{\pi}{4})$ の範囲は $-\frac{\sqrt{2}}{2} \leq \sin(x + \frac{\pi}{4}) \leq 1$

したがって、$-\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} \leq t \leq 1 \cdot \sqrt{2}$

$-1 \leq t \leq \sqrt{2}$

(2)

$y = \sin^2 x \cos x + \sin x \cos^2 x + \sin x \cos x = \sin x \cos x (\sin x + \cos x + 1) = \sin x \cos x (t + 1)$

$t = \sin x + \cos x$ より、$t^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2\sin x \cos x$

$\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$

$y = \frac{t^2 - 1}{2} (t + 1) = \frac{t^3 + t^2 - t - 1}{2}$

$y' = \frac{3t^2 + 2t - 1}{2} = \frac{(3t - 1)(t + 1)}{2}$

$y' = 0$ となるのは $t = \frac{1}{3}, -1$

$t=-1$の時、 $y= \frac{(-1)^3+(-1)^2-(-1)-1}{2} = \frac{-1+1+1-1}{2} = 0$

$t=\frac{1}{3}$の時、 $y=\frac{(\frac{1}{3})^3+(\frac{1}{3})^2-\frac{1}{3}-1}{2} = \frac{\frac{1}{27}+\frac{1}{9}-\frac{1}{3}-1}{2} = \frac{\frac{1+3-9-27}{27}}{2} = -\frac{32}{54}= -\frac{16}{27}$

$t = \sqrt{2}$ の時、$y = \frac{(\sqrt{2})^3+(\sqrt{2})^2-\sqrt{2}-1}{2} = \frac{2\sqrt{2}+2-\sqrt{2}-1}{2} = \frac{\sqrt{2}+1}{2}$

したがって、$t = \frac{1}{3}$ のとき最小値 $-\frac{16}{27}$

3. 最終的な答え

(1) $-1 \leq t \leq \sqrt{2}$

(2) $-\frac{16}{27}$

**問題7**

1. 問題の内容

$3\sin x + \cos x = 3$ が成り立つとき、$\sin 2x$ の値を求める。ただし、$0 < x < \frac{\pi}{2}$ とする。

2. 解き方の手順

$3\sin x + \cos x = 3$

両辺を 2 乗すると、$(3\sin x + \cos x)^2 = 9$

$9\sin^2 x + 6\sin x \cos x + \cos^2 x = 9$

$8\sin^2 x + 6\sin x \cos x + 1 = 9$

$8\sin^2 x + 3\sin 2x - 8 = 0$

もしくは、$\cos x = 3 - 3 \sin x$

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = (3 - 3 \sin x)^2 = 9 - 18 \sin x + 9 \sin^2 x$

$1 - \sin^2 x = 9 - 18 \sin x + 9 \sin^2 x$

$10 \sin^2 x - 18 \sin x + 8 = 0$

$5 \sin^2 x - 9 \sin x + 4 = 0$

$(5 \sin x - 4)(\sin x - 1) = 0$

$\sin x = 1$ または $\sin x = \frac{4}{5}$

$\sin x = 1$ のとき、$x = \frac{\pi}{2}$ だが、$0 < x < \frac{\pi}{2}$ なので不適。

$\sin x = \frac{4}{5}$ のとき、$\cos x = 3 - 3 \sin x = 3 - 3 (\frac{4}{5}) = 3 - \frac{12}{5} = \frac{3}{5}$

したがって、$\sin 2x = 2\sin x \cos x = 2(\frac{4}{5})(\frac{3}{5}) = \frac{24}{25}$

3. 最終的な答え

$\frac{24}{25}$