二重積分 $\iint_D (x^2 + y^2) dx dy$ を、積分領域 $D: 0 \le x \le 1, x^2 \le y \le x$ で計算する。

1. 問題の内容

二重積分 $\iint_D (x^2 + y^2) dx dy$ を、積分領域 $D: 0 \le x \le 1, x^2 \le y \le x$ で計算する。

2. 解き方の手順

まず、$y$について積分し、そのあと$x$について積分する。

積分範囲に注意して計算を行う。

$\iint_D (x^2 + y^2) dx dy = \int_0^1 \int_{x^2}^x (x^2 + y^2) dy dx$

$\int_{x^2}^x (x^2 + y^2) dy = [x^2 y + \frac{1}{3} y^3]_{x^2}^x$

$= (x^3 + \frac{1}{3} x^3) - (x^4 + \frac{1}{3} x^6) = \frac{4}{3} x^3 - x^4 - \frac{1}{3} x^6$

$\int_0^1 (\frac{4}{3} x^3 - x^4 - \frac{1}{3} x^6) dx = [\frac{1}{3} x^4 - \frac{1}{5} x^5 - \frac{1}{21} x^7]_0^1$

$= \frac{1}{3} - \frac{1}{5} - \frac{1}{21} = \frac{35 - 21 - 5}{105} = \frac{9}{105} = \frac{3}{35}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{35}$