曲線 $y = \frac{1}{2}x^2$ の $0 \le x \le 2$ の範囲における長さを求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = \frac{1}{2}x^2$ の $0 \le x \le 2$ の範囲における長さを求めよ。

2. 解き方の手順

曲線の長さの公式は次の通りです。

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx$

ここで、$a = 0$、$b = 2$ であり、$y = \frac{1}{2}x^2$ です。

まず、$\frac{dy}{dx}$ を求めます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{1}{2}x^2) = x$

次に、$(\frac{dy}{dx})^2$ を求めます。

$(\frac{dy}{dx})^2 = x^2$

したがって、$1 + (\frac{dy}{dx})^2 = 1 + x^2$

曲線の長さ $L$ は次の積分で与えられます。

$L = \int_{0}^{2} \sqrt{1 + x^2} dx$

この積分を解くために、次の置換を行います。

$x = \sinh(u)$

$dx = \cosh(u) du$

$x = 0$ のとき、$\sinh(u) = 0$ なので、$u = 0$

$x = 2$ のとき、$\sinh(u) = 2$ なので、$u = \sinh^{-1}(2)$

$\sqrt{1 + x^2} = \sqrt{1 + \sinh^2(u)} = \sqrt{\cosh^2(u)} = \cosh(u)$

したがって、

$L = \int_{0}^{\sinh^{-1}(2)} \cosh(u) \cdot \cosh(u) du = \int_{0}^{\sinh^{-1}(2)} \cosh^2(u) du$

$\cosh^2(u) = \frac{1 + \cosh(2u)}{2}$ なので、

$L = \int_{0}^{\sinh^{-1}(2)} \frac{1 + \cosh(2u)}{2} du = \frac{1}{2} \int_{0}^{\sinh^{-1}(2)} (1 + \cosh(2u)) du$

$L = \frac{1}{2} [u + \frac{1}{2}\sinh(2u)]_{0}^{\sinh^{-1}(2)}$

$\sinh(2u) = 2\sinh(u)\cosh(u)$ なので、

$L = \frac{1}{2} [u + \sinh(u)\cosh(u)]_{0}^{\sinh^{-1}(2)}$

$u = \sinh^{-1}(2)$ のとき、$\sinh(u) = 2$ であり、

$\cosh(u) = \sqrt{1 + \sinh^2(u)} = \sqrt{1 + 2^2} = \sqrt{5}$

$L = \frac{1}{2} [\sinh^{-1}(2) + 2\sqrt{5} - (0 + 0)] = \frac{1}{2} \sinh^{-1}(2) + \sqrt{5}$

$\sinh^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$ なので、

$\sinh^{-1}(2) = \ln(2 + \sqrt{2^2 + 1}) = \ln(2 + \sqrt{5})$

したがって、

$L = \frac{1}{2} \ln(2 + \sqrt{5}) + \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln(2 + \sqrt{5}) + \sqrt{5}$