媒介変数表示された曲線 $x = \cos t + t \sin t, y = \sin t - t \cos t$ (ただし $0 \le t \le \pi$) の長さを求めます。

1. 問題の内容

媒介変数表示された曲線 $x = \cos t + t \sin t, y = \sin t - t \cos t$ (ただし $0 \le t \le \pi$) の長さを求めます。

2. 解き方の手順

曲線の長さ $L$ は、以下の式で与えられます。

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt$

まず、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算します。

$\frac{dx}{dt} = -\sin t + \sin t + t \cos t = t \cos t$

$\frac{dy}{dt} = \cos t - \cos t + t \sin t = t \sin t$

次に、$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2$ を計算します。

$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = (t \cos t)^2 + (t \sin t)^2 = t^2 \cos^2 t + t^2 \sin^2 t = t^2 (\cos^2 t + \sin^2 t) = t^2$

したがって、

$\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} = \sqrt{t^2} = |t|$

区間 $0 \le t \le \pi$ では、$t \ge 0$ なので、$|t| = t$ となります。

最後に、積分を計算します。

$L = \int_{0}^{\pi} t dt = \left[\frac{1}{2}t^2\right]_{0}^{\pi} = \frac{1}{2}\pi^2 - \frac{1}{2}(0)^2 = \frac{1}{2}\pi^2$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}\pi^2$