与えられた積分を計算する問題です。 $$ \int_0^2 \sqrt{1+x^2} \, dx $$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算する問題です。

$$\int_0^2 \sqrt{1+x^2} \, dx$$

2. 解き方の手順

この積分は、三角関数置換を用いることで解くことができます。

$x = \tan(\theta)$ と置換します。すると、$dx = \sec^2(\theta) d\theta$ となります。

積分範囲も変わります。$x=0$ のとき $\theta = 0$、$x=2$ のとき $\theta = \arctan(2)$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$$\int_0^{\arctan(2)} \sqrt{1+\tan^2(\theta)} \sec^2(\theta) \, d\theta$$

ここで、$1+\tan^2(\theta) = \sec^2(\theta)$ であるから、

$$\int_0^{\arctan(2)} \sqrt{\sec^2(\theta)} \sec^2(\theta) \, d\theta = \int_0^{\arctan(2)} \sec(\theta) \sec^2(\theta) \, d\theta = \int_0^{\arctan(2)} \sec^3(\theta) \, d\theta$$

$\sec^3(\theta)$ の積分は、部分積分を用いて計算できます。

$$\int \sec^3(\theta) \, d\theta = \frac{1}{2} [\sec(\theta) \tan(\theta) + \ln|\sec(\theta) + \tan(\theta)|] + C$$

したがって、

$$\int_0^{\arctan(2)} \sec^3(\theta) \, d\theta = \frac{1}{2} [\sec(\theta) \tan(\theta) + \ln|\sec(\theta) + \tan(\theta)|]_0^{\arctan(2)}$$

$\theta = \arctan(2)$ のとき、$\tan(\theta) = 2$ であり、$\sec(\theta) = \sqrt{1+\tan^2(\theta)} = \sqrt{1+2^2} = \sqrt{5}$ となります。

$\theta = 0$ のとき、$\tan(0) = 0$ であり、$\sec(0) = 1$ となります。

したがって、

$$\frac{1}{2} [(\sqrt{5})(2) + \ln|\sqrt{5} + 2| - (1)(0) - \ln|1 + 0|] = \frac{1}{2} [2\sqrt{5} + \ln(\sqrt{5} + 2) - 0 - 0] = \sqrt{5} + \frac{1}{2} \ln(\sqrt{5} + 2)$$

3. 最終的な答え

$$\sqrt{5} + \frac{1}{2} \ln(\sqrt{5} + 2)$$