曲線 $y = \frac{1}{2}x^2$ の $0 \le x \le 2$ の範囲における長さを求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = \frac{1}{2}x^2$ の $0 \le x \le 2$ の範囲における長さを求めよ。

2. 解き方の手順

曲線 $y=f(x)$ の $a \le x \le b$ における長さ $L$ は、以下の式で求められます。

$L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx$

まず、$f(x) = \frac{1}{2}x^2$ を微分します。

$f'(x) = x$

次に、$\sqrt{1 + (f'(x))^2}$ を計算します。

$\sqrt{1 + (f'(x))^2} = \sqrt{1 + x^2}$

したがって、求める長さ $L$ は、

$L = \int_0^2 \sqrt{1 + x^2} dx$

この積分は、通常、置換積分を用いて計算します。$x = \sinh t$ と置換すると、$dx = \cosh t dt$ となります。

$x=0$ のとき $\sinh t = 0$ なので $t=0$、

$x=2$ のとき $\sinh t = 2$ なので $t = \sinh^{-1} 2$ となります。

また、$1 + x^2 = 1 + \sinh^2 t = \cosh^2 t$ なので、

$\sqrt{1 + x^2} = \cosh t$

したがって、

$L = \int_0^{\sinh^{-1} 2} \cosh^2 t dt$

$\cosh^2 t = \frac{1 + \cosh 2t}{2}$ なので、

$L = \int_0^{\sinh^{-1} 2} \frac{1 + \cosh 2t}{2} dt = \frac{1}{2} \int_0^{\sinh^{-1} 2} (1 + \cosh 2t) dt$

$L = \frac{1}{2} [t + \frac{1}{2} \sinh 2t]_0^{\sinh^{-1} 2}$

$L = \frac{1}{2} [t + \sinh t \cosh t]_0^{\sinh^{-1} 2}$

ここで、$t = \sinh^{-1} 2$ のとき $\sinh t = 2$, $\cosh t = \sqrt{1 + \sinh^2 t} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ なので、

$L = \frac{1}{2} [\sinh^{-1} 2 + 2\sqrt{5} - (0 + 0)] = \frac{1}{2} \sinh^{-1} 2 + \sqrt{5}$

$\sinh^{-1} 2 = \ln (2 + \sqrt{5})$ であるので、

$L = \frac{1}{2} \ln (2 + \sqrt{5}) + \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln (2 + \sqrt{5}) + \sqrt{5}$