与えられた定積分 $\int_{0}^{2} \sqrt{1+x^2} \, dx$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_{0}^{2} \sqrt{1+x^2} \, dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

この積分は、三角関数を用いた置換積分で解くことができます。具体的には、$x = \sinh(t)$ と置換します。このとき、$dx = \cosh(t) \, dt$ となります。積分範囲も変更する必要があります。

$x = 0$ のとき、$\sinh(t) = 0$ より $t = 0$ です。

$x = 2$ のとき、$\sinh(t) = 2$ より $t = \sinh^{-1}(2) = \ln(2 + \sqrt{5})$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{2} \sqrt{1+x^2} \, dx = \int_{0}^{\sinh^{-1}(2)} \sqrt{1+\sinh^2(t)} \cosh(t) \, dt$

双曲線関数の恒等式 $\cosh^2(t) - \sinh^2(t) = 1$ より、$\sqrt{1+\sinh^2(t)} = \cosh(t)$ であるから、

$\int_{0}^{\sinh^{-1}(2)} \cosh^2(t) \, dt$

ここで、$\cosh^2(t) = \frac{1+\cosh(2t)}{2}$ であるから、

$\int_{0}^{\sinh^{-1}(2)} \frac{1+\cosh(2t)}{2} \, dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{\sinh^{-1}(2)} (1+\cosh(2t)) \, dt = \frac{1}{2} [t + \frac{1}{2}\sinh(2t)]_{0}^{\sinh^{-1}(2)}$

$\sinh(2t) = 2\sinh(t)\cosh(t)$ であり、$\sinh(t) = x$ なので、$x=2$ のとき $\sinh(t) = 2$ であり、$\cosh(t) = \sqrt{1+\sinh^2(t)} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$ となるので、

$\frac{1}{2} [t + \frac{1}{2}\sinh(2t)]_{0}^{\sinh^{-1}(2)} = \frac{1}{2} [\sinh^{-1}(2) + \frac{1}{2}(2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5}) - 0] = \frac{1}{2} [\sinh^{-1}(2) + 2\sqrt{5}]$

$\sinh^{-1}(2) = \ln(2+\sqrt{5})$ なので、

$\frac{1}{2} [\ln(2+\sqrt{5}) + 2\sqrt{5}] = \frac{1}{2}\ln(2+\sqrt{5}) + \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}\ln(2+\sqrt{5}) + \sqrt{5}$