曲線 $x = \cos t + t \sin t$, $y = \sin t - t \cos t$ ($0 \le t \le \pi$) の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $x = \cos t + t \sin t$, $y = \sin t - t \cos t$ ($0 \le t \le \pi$) の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

曲線の長さは、パラメータ表示された曲線 $x(t)$, $y(t)$ に対して、次の式で求められます。

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$

まず、$x(t)$ と $y(t)$ を $t$ で微分します。

$\frac{dx}{dt} = -\sin t + \sin t + t \cos t = t \cos t$

$\frac{dy}{dt} = \cos t - \cos t + t \sin t = t \sin t$

次に、$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2$ を計算します。

$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 = (t \cos t)^2 + (t \sin t)^2 = t^2 \cos^2 t + t^2 \sin^2 t = t^2 (\cos^2 t + \sin^2 t) = t^2$

したがって、曲線の長さは次の積分で求められます。

$L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{t^2} dt = \int_{0}^{\pi} t dt$

この積分を計算します。

$L = [\frac{1}{2} t^2]_{0}^{\pi} = \frac{1}{2} \pi^2 - \frac{1}{2} (0)^2 = \frac{1}{2} \pi^2$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \pi^2$