曲線 $y = \log x$ を $C$ とし、原点を通り $C$ に接する直線を $l$ とする。$l$ と $C$ と $x$ 軸によって囲まれた部分を $x$ 軸の周りに1回転して得られる立体の体積を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = \log x$ を $C$ とし、原点を通り $C$ に接する直線を $l$ とする。$l$ と $C$ と $x$ 軸によって囲まれた部分を $x$ 軸の周りに1回転して得られる立体の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$l$ の方程式を求める。$l$ は原点を通る直線なので、$y = kx$ とおける。この直線が $y = \log x$ に接するということは、

$\log x = kx$ かつ $\frac{1}{x} = k$ を満たす $x$ が存在することを意味する。

$\frac{1}{x} = k$ より $x = \frac{1}{k}$。これを $\log x = kx$ に代入すると、$\log \frac{1}{k} = k \cdot \frac{1}{k} = 1$。

よって、$\frac{1}{k} = e$ より $k = \frac{1}{e}$。したがって、$l$ の方程式は $y = \frac{1}{e} x$ である。

$l$ と $C$ の交点の $x$ 座標は、$x = e$ である。また、$l$ と $x$ 軸の交点の $x$ 座標は $0$ であり、$C$ と $x$ 軸の交点の $x$ 座標は $1$ である。したがって、$x$ 軸、$y = \frac{1}{e}x$、$y = \log x$ で囲まれた部分を $x$ 軸の周りに回転させた体積 $V$ は、

$V = \pi \int_1^e (\frac{1}{e}x)^2 dx - \pi \int_1^e (\log x)^2 dx$ で与えられる。

$\int_1^e (\frac{1}{e}x)^2 dx = \frac{1}{e^2} \int_1^e x^2 dx = \frac{1}{e^2} [\frac{1}{3} x^3]_1^e = \frac{1}{3e^2} (e^3 - 1) = \frac{e}{3} - \frac{1}{3e^2}$。

$\int (\log x)^2 dx = x(\log x)^2 - 2\int \log x dx = x (\log x)^2 - 2 (x \log x - x) + C = x (\log x)^2 - 2x \log x + 2x + C$。

よって、$\int_1^e (\log x)^2 dx = [x(\log x)^2 - 2x\log x + 2x]_1^e = (e - 2e + 2e) - (0 - 0 + 2) = e - 2$。

したがって、$V = \pi (\frac{e}{3} - \frac{1}{3e^2} - (e - 2)) = \pi (\frac{e}{3} - \frac{1}{3e^2} - e + 2) = \pi (2 - \frac{2}{3}e - \frac{1}{3e^2}) = \frac{\pi}{3e^2} (6e^2 - 2e^3 - 1)$。

積分区間を考慮すると、求める体積は以下の式で計算できる。

$V = \pi \int_1^e (\frac{x}{e})^2 dx - \pi \int_1^e (\log x)^2 dx$

$V = \pi [\frac{x^3}{3e^2}]_1^e - \pi [x(\log x)^2 - 2x\log x + 2x]_1^e$

$V = \pi (\frac{e}{3} - \frac{1}{3e^2}) - \pi (e - 2)$

$V = \pi (\frac{e}{3} - \frac{1}{3e^2} - e + 2)$

$V = \pi (2 - \frac{2e}{3} - \frac{1}{3e^2})$

$V = \frac{\pi}{3e^2} (6e^2 - 2e^3 - 1)$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{3e^2} (6e^2 - 2e^3 - 1)$