定積分 $\int_{0}^{2} \sqrt{1 - x^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{2} \sqrt{1 - x^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は、円の面積に関連付けて解くことができます。被積分関数 $y = \sqrt{1-x^2}$ は、中心が原点 $(0, 0)$、半径が1の円の上半分を表します。

積分範囲は $x = 0$ から $x = 2$ ですが、$y = \sqrt{1-x^2}$ が実数値をとるのは $-1 \le x \le 1$ の範囲です。積分区間が $x = 0$ から $x = 2$ となっているのは誤りであると考えられます。

そこで、積分区間が $x=0$ から $x=1$ であると仮定して解きます。つまり、$\int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^2} dx$ を計算します。

$y = \sqrt{1 - x^2}$ は、半径1の円の上半分を表します。積分 $\int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^2} dx$ は、この円の上半分のうち、$x = 0$ から $x = 1$ までの領域の面積を表します。これは、半径1の円の4分の1の面積に相当します。

円の面積は $\pi r^2$ であり、ここで $r = 1$ なので、面積は $\pi$ となります。円の4分の1の面積は $\frac{\pi}{4}$ となります。

したがって、

$$\int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^2} dx = \frac{\pi}{4}$$

もし、積分区間が $x = 0$ から $x = 2$ であった場合、被積分関数 $\sqrt{1-x^2}$ は $x$ が 1 より大きい範囲で定義されないので、積分は定義されません。

3. 最終的な答え

積分区間が $x=0$ から $x=1$ であると仮定した場合、最終的な答えは

$\frac{\pi}{4}$

となります。

積分区間が $x=0$ から $x=2$ の場合、積分は定義されません。