与えられた積分の問題を解きます。問題は$\int \cos(5x-4) \sin(2x+3) dx$を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた積分の問題を解きます。問題は$\int \cos(5x-4) \sin(2x+3) dx$を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の積和の公式を使います。

$\sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) + \sin(A-B)]$

ここで、$A = 2x+3$、$B = 5x-4$ とします。すると、

$\sin(2x+3) \cos(5x-4) = \frac{1}{2} [\sin((2x+3)+(5x-4)) + \sin((2x+3)-(5x-4))]$

$\sin(2x+3) \cos(5x-4) = \frac{1}{2} [\sin(7x-1) + \sin(-3x+7)]$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \cos(5x-4) \sin(2x+3) dx = \int \frac{1}{2} [\sin(7x-1) + \sin(-3x+7)] dx$

$= \frac{1}{2} \int [\sin(7x-1) + \sin(-3x+7)] dx$

$= \frac{1}{2} \int \sin(7x-1) dx + \frac{1}{2} \int \sin(-3x+7) dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int \sin(7x-1) dx = -\frac{1}{7} \cos(7x-1) + C_1$

$\int \sin(-3x+7) dx = \frac{1}{3} \cos(-3x+7) + C_2$

したがって、

$\frac{1}{2} \int \sin(7x-1) dx + \frac{1}{2} \int \sin(-3x+7) dx = \frac{1}{2} (-\frac{1}{7} \cos(7x-1)) + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cos(-3x+7)) + C$

$= -\frac{1}{14} \cos(7x-1) + \frac{1}{6} \cos(-3x+7) + C$

$= -\frac{1}{14} \cos(7x-1) + \frac{1}{6} \cos(7-3x) + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{14} \cos(7x-1) + \frac{1}{6} \cos(7-3x) + C$