定積分 $\int_{0}^{1} \frac{dx}{e^x + e^{-x}}$ を計算してください。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \frac{dx}{e^x + e^{-x}}$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数の分母分子に $e^x$ をかけます。

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{e^x + e^{-x}} = \int_{0}^{1} \frac{e^x}{e^{2x} + 1} dx$

ここで、$u = e^x$ とおくと、$du = e^x dx$ となります。また、積分区間は $x=0$ のとき $u = e^0 = 1$ 、$x=1$ のとき $u = e^1 = e$ となります。したがって、

$\int_{0}^{1} \frac{e^x}{e^{2x} + 1} dx = \int_{1}^{e} \frac{1}{u^2 + 1} du$

$\int \frac{1}{u^2 + 1} du = \arctan(u) + C$ であるから、

$\int_{1}^{e} \frac{1}{u^2 + 1} du = \arctan(e) - \arctan(1)$

$\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ であるので、

$\arctan(e) - \arctan(1) = \arctan(e) - \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\arctan(e) - \frac{\pi}{4}$