定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。

$u = \cos x$ と置くと、$du = -\sin x dx$ となります。

また、積分範囲も変更する必要があります。

$x = 0$ のとき、$u = \cos 0 = 1$ です。

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき、$u = \cos \frac{\pi}{2} = 0$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \int_{1}^{0} \frac{-du}{1 + u^2} = -\int_{1}^{0} \frac{du}{1 + u^2}$

積分の順序を入れ替えると、マイナス符号が消えます。

$\int_{0}^{1} \frac{du}{1 + u^2}$

$\frac{1}{1+u^2}$ の不定積分は $\arctan(u)$ であることを知っています。

したがって、

$\int_{0}^{1} \frac{du}{1 + u^2} = [\arctan(u)]_{0}^{1} = \arctan(1) - \arctan(0)$

$\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ であり、$\arctan(0) = 0$ であるため、

$\arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$