(1) 関数 $F(x) = \int_0^x t(t-2) dt$ について、その導関数 $F'(x)$ を求め、極大値と極小値を取る $x$ の値と、その時の $F(x)$ の値を求めます。 (2) 関数 $G(x) = \int_0^x |t(t-2)| dt$ について、$0 \le t \le 2$ のときと、$t \le 0, 2 \le t$ のときの $|t(t-2)|$ を求めます。

1. 問題の内容

(1) 関数 $F(x) = \int_0^x t(t-2) dt$ について、その導関数 $F'(x)$ を求め、極大値と極小値を取る $x$ の値と、その時の $F(x)$ の値を求めます。

(2) 関数 $G(x) = \int_0^x |t(t-2)| dt$ について、$0 \le t \le 2$ のときと、$t \le 0, 2 \le t$ のときの $|t(t-2)|$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$F'(x)$ は積分の上端の変数 $x$ を被積分関数に代入することで求められます。

$F'(x) = x(x-2) = x^2 - 2x$

よって、アには 2 が入ります。

$F'(x) = x(x-2) = 0$ となるのは、$x = 0, 2$ のときです。

$F'(x)$ の符号の変化を調べます。

- $x < 0$ のとき、$x < 0, x - 2 < 0$ なので $F'(x) > 0$

- $0 < x < 2$ のとき、$x > 0, x - 2 < 0$ なので $F'(x) < 0$

- $x > 2$ のとき、$x > 0, x - 2 > 0$ なので $F'(x) > 0$

したがって、$x = 0$ で極大、$x = 2$ で極小となります。

イには 0、エには 2 が入ります。

$F(x) = \int_0^x (t^2 - 2t) dt = [\frac{1}{3}t^3 - t^2]_0^x = \frac{1}{3}x^3 - x^2$

$F(0) = \frac{1}{3}(0)^3 - (0)^2 = 0$

$F(2) = \frac{1}{3}(2)^3 - (2)^2 = \frac{8}{3} - 4 = \frac{8-12}{3} = -\frac{4}{3}$

よって、ウには 0、オカには -4、キには 3 が入ります。

(2)

$t(t-2) \le 0$ を満たすのは $0 \le t \le 2$ の範囲です。このとき、$|t(t-2)| = -t(t-2)$ です。

$t(t-2) \ge 0$ を満たすのは $t \le 0, 2 \le t$ の範囲です。このとき、$|t(t-2)| = t(t-2)$ です。

よって、クには 2、ケには 0 が入ります。

3. 最終的な答え

(1)

ア: 2

イ: 0

ウ: 0

エ: 2

オカ: -4

キ: 3

(2)

ク: 2

ケ: 0