与えられた問題は、以下の4つのカテゴリに分かれています。 1. 極限を求める問題（3問）

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の4つのカテゴリに分かれています。

1. 極限を求める問題（3問）

2. ライプニッツの公式を用いる問題（1問）

3. 不定積分を計算する問題（3問）

4. 定積分を計算する問題（4問）

2. 解き方の手順

それぞれの問題について、解き方を以下に示します。

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1. 極限を求める問題**

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}x}{2x}$

$\sin^{-1}x$ は $x \to 0$ で $0$ に近づくので、ロピタルの定理を用いることができます。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{2} = \frac{1}{2}$$

(2) $\lim_{x \to 0} \sqrt{x} \log x$

$x = t^2$ と置換すると、$x \to 0$ のとき $t \to 0$ なので、

$$\lim_{x \to 0} \sqrt{x} \log x = \lim_{t \to 0} t \log(t^2) = \lim_{t \to 0} 2t \log t = 2 \lim_{t \to 0} \frac{\log t}{1/t}$$

ロピタルの定理を用いると、

$$2 \lim_{t \to 0} \frac{1/t}{-1/t^2} = 2 \lim_{t \to 0} (-t) = 0$$

(3) $\lim_{x \to \infty} (1 + x)^{\frac{1}{x}}$

$y = (1+x)^{\frac{1}{x}}$ とおくと、$\log y = \frac{1}{x} \log (1+x)$ である。

$$\lim_{x \to \infty} \log y = \lim_{x \to \infty} \frac{\log (1+x)}{x}$$

ロピタルの定理を用いると、

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1+x} = 0$$

よって、$\lim_{x \to \infty} \log y = 0$ より、$\lim_{x \to \infty} y = e^0 = 1$

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2. ライプニッツの公式を用いる問題**

ライプニッツの公式は、関数の積の $n$ 階微分を求める公式です。ここでは3階微分を求めます。

$f(x) = (x^2 - 3x + 1)e^x$

$f'(x) = (2x - 3)e^x + (x^2 - 3x + 1)e^x = (x^2 - x - 2)e^x$

$f''(x) = (2x - 1)e^x + (x^2 - x - 2)e^x = (x^2 + x - 3)e^x$

$f'''(x) = (2x + 1)e^x + (x^2 + x - 3)e^x = (x^2 + 3x - 2)e^x$

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3. 不定積分を計算する問題**

(1) $\int \frac{1+x^3}{x} dx = \int (\frac{1}{x} + x^2) dx = \log |x| + \frac{x^3}{3} + C$

(2) $\int x\sqrt{1-x} dx$

$u = 1-x$ と置換すると、$x = 1-u$、$dx = -du$ となる。

$$\int x\sqrt{1-x} dx = \int (1-u)\sqrt{u} (-du) = -\int (\sqrt{u} - u\sqrt{u}) du = -\int (u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}}) du$$

$$= -(\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}}) + C = -\frac{2}{3}(1-x)^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5}(1-x)^{\frac{5}{2}} + C$$

(3) $\int x^2 \sin x dx$

部分積分を2回行う。

$$\int x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x + \int 2x \cos x dx = -x^2 \cos x + 2x \sin x - \int 2\sin x dx = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2\cos x + C$$

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4. 定積分を計算する問題**

(1) $\int_0^{\pi} x \cos x dx$

部分積分を行う。

$$\int_0^{\pi} x \cos x dx = [x\sin x]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} \sin x dx = [\pi \sin \pi - 0 \sin 0] + [\cos x]_0^{\pi} = 0 + [\cos \pi - \cos 0] = -1 - 1 = -2$$

(2) $\int_1^e x^2 \log x dx$

部分積分を行う。

$$\int_1^e x^2 \log x dx = [\frac{x^3}{3} \log x]_1^e - \int_1^e \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{e^3}{3} \log e - \frac{1}{3} \log 1 - \int_1^e \frac{x^2}{3} dx = \frac{e^3}{3} - 0 - [\frac{x^3}{9}]_1^e = \frac{e^3}{3} - (\frac{e^3}{9} - \frac{1}{9}) = \frac{2e^3}{9} + \frac{1}{9}$$

(3) $\int_0^1 x(x^2 - 1)^5 dx$

$u = x^2 - 1$ と置換すると、$du = 2x dx$ より $xdx = \frac{1}{2}du$。

$x = 0$ のとき $u = -1$、$x = 1$ のとき $u = 0$。

$$\int_0^1 x(x^2 - 1)^5 dx = \int_{-1}^0 u^5 \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} [\frac{u^6}{6}]_{-1}^0 = \frac{1}{2} (0 - \frac{1}{6}) = -\frac{1}{12}$$

(4) $\int_0^4 \frac{x}{\sqrt{2x+1}} dx$

$u = 2x+1$ と置換すると、$x = \frac{u-1}{2}$、$dx = \frac{1}{2}du$。

$x = 0$ のとき $u = 1$、$x = 4$ のとき $u = 9$。

$$\int_0^4 \frac{x}{\sqrt{2x+1}} dx = \int_1^9 \frac{\frac{u-1}{2}}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} du = \frac{1}{4} \int_1^9 (u^{\frac{1}{2}} - u^{-\frac{1}{2}}) du = \frac{1}{4} [\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} - 2u^{\frac{1}{2}}]_1^9 = \frac{1}{4} [(\frac{2}{3} \cdot 27 - 2 \cdot 3) - (\frac{2}{3} - 2)] = \frac{1}{4} [(18 - 6) - (\frac{2}{3} - \frac{6}{3})] = \frac{1}{4} [12 + \frac{4}{3}] = \frac{1}{4} \cdot \frac{40}{3} = \frac{10}{3}$$

3. 最終的な答え

1. (1) $\frac{1}{2}$

(2) $0$

(3) $1$

2. $(x^2 + 3x - 2)e^x$

3. (1) $\log|x| + \frac{x^3}{3} + C$

(2) $-\frac{2}{3}(1-x)^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5}(1-x)^{\frac{5}{2}} + C$

(3) $-x^2 \cos x + 2x \sin x + 2\cos x + C$

4. (1) $-2$

(2) $\frac{2e^3}{9} + \frac{1}{9}$

(3) $-\frac{1}{12}$

(4) $\frac{10}{3}$