以下の4つの関数を微分する問題です。 (1) $f(x) = 5$ (2) $f(x) = 5x^5 + 4x^4 + 3x^3 + 2x^2 + x$ (3) $f(x) = (x+5)(x-7)$ (4) $f(x) = (x-2)^3$

1. 問題の内容

以下の4つの関数を微分する問題です。

(1) $f(x) = 5$

(2) $f(x) = 5x^5 + 4x^4 + 3x^3 + 2x^2 + x$

(3) $f(x) = (x+5)(x-7)$

(4) $f(x) = (x-2)^3$

2. 解き方の手順

(1) 定数の微分は0です。

(2) 各項を微分し、それらを足し合わせます。

$f'(x) = \frac{d}{dx}(5x^5) + \frac{d}{dx}(4x^4) + \frac{d}{dx}(3x^3) + \frac{d}{dx}(2x^2) + \frac{d}{dx}(x)$

$f'(x) = 5 \cdot 5x^4 + 4 \cdot 4x^3 + 3 \cdot 3x^2 + 2 \cdot 2x + 1$

$f'(x) = 25x^4 + 16x^3 + 9x^2 + 4x + 1$

(3) まず関数を展開します。

$f(x) = x^2 - 7x + 5x - 35$

$f(x) = x^2 - 2x - 35$

次に、各項を微分します。

$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}(2x) - \frac{d}{dx}(35)$

$f'(x) = 2x - 2 - 0$

$f'(x) = 2x - 2$

(4) 合成関数の微分を行います。

$f'(x) = 3(x-2)^2 \cdot \frac{d}{dx}(x-2)$

$f'(x) = 3(x-2)^2 \cdot 1$

$f'(x) = 3(x-2)^2$

展開することもできます。

$f'(x) = 3(x^2 - 4x + 4)$

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 12$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = 0$

(2) $f'(x) = 25x^4 + 16x^3 + 9x^2 + 4x + 1$

(3) $f'(x) = 2x - 2$

(4) $f'(x) = 3(x-2)^2 = 3x^2 - 12x + 12$