与えられた定積分を計算します。定積分は $\int_{-1}^{4} \left\{ \frac{1}{4}\sqrt{y^2+1} - \left(-\frac{1}{4}\sqrt{y^2+1}\right) \right\}dy$ です。

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。定積分は

$\int_{-1}^{4} \left\{ \frac{1}{4}\sqrt{y^2+1} - \left(-\frac{1}{4}\sqrt{y^2+1}\right) \right\}dy$

です。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を整理します。

$\frac{1}{4}\sqrt{y^2+1} - \left(-\frac{1}{4}\sqrt{y^2+1}\right) = \frac{1}{4}\sqrt{y^2+1} + \frac{1}{4}\sqrt{y^2+1} = \frac{2}{4}\sqrt{y^2+1} = \frac{1}{2}\sqrt{y^2+1}$

したがって、定積分は

$\int_{-1}^{4} \frac{1}{2}\sqrt{y^2+1} dy = \frac{1}{2} \int_{-1}^{4} \sqrt{y^2+1} dy$

$\int \sqrt{y^2 + 1} dy$ は、$\sinh^{-1}y$ を用いて表されるか、あるいは部分積分を用いて計算できます。

ここでは、

$\int \sqrt{y^2 + a^2} dy = \frac{1}{2}y\sqrt{y^2 + a^2} + \frac{1}{2}a^2 \sinh^{-1} \left(\frac{y}{a}\right) + C$

という公式を用います。$a = 1$ とすると、

$\int \sqrt{y^2 + 1} dy = \frac{1}{2}y\sqrt{y^2 + 1} + \frac{1}{2} \sinh^{-1} (y) + C$

したがって、

$\frac{1}{2} \int_{-1}^{4} \sqrt{y^2+1} dy = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2}y\sqrt{y^2 + 1} + \frac{1}{2} \sinh^{-1} (y) \right]_{-1}^{4}$

$= \frac{1}{4} \left[ y\sqrt{y^2 + 1} + \sinh^{-1} (y) \right]_{-1}^{4}$

$= \frac{1}{4} \left[ (4\sqrt{4^2 + 1} + \sinh^{-1} (4)) - (-1\sqrt{(-1)^2 + 1} + \sinh^{-1} (-1)) \right]$

$= \frac{1}{4} \left[ 4\sqrt{17} + \sinh^{-1} (4) + \sqrt{2} - \sinh^{-1} (-1) \right]$

$= \frac{1}{4} \left[ 4\sqrt{17} + \sqrt{2} + \sinh^{-1} (4) + \sinh^{-1} (1) \right]$

$\sinh^{-1}x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$ なので

$\sinh^{-1} (4) = \ln (4 + \sqrt{17})$

$\sinh^{-1} (1) = \ln (1 + \sqrt{2})$

$= \frac{1}{4} \left[ 4\sqrt{17} + \sqrt{2} + \ln(4 + \sqrt{17}) + \ln(1 + \sqrt{2}) \right]$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4} \left[ 4\sqrt{17} + \sqrt{2} + \ln(4 + \sqrt{17}) + \ln(1 + \sqrt{2}) \right]$