与えられた問題は、関数 $\frac{1}{x^2 - 1}$ の、$x$ が $-1$ に正の方向から近づくときの極限を求める問題です。すなわち、 $$\lim_{x \to -1+0} \frac{1}{x^2 - 1}$$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた問題は、関数 $\frac{1}{x^2 - 1}$ の、$x$ が $-1$ に正の方向から近づくときの極限を求める問題です。すなわち、

$$\lim_{x \to -1+0} \frac{1}{x^2 - 1}$$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - 1$ を因数分解します。

$$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$$

したがって、与えられた関数は、

$$\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{(x - 1)(x + 1)}$$

となります。

$x$ が $-1$ に正の方向から近づくとき、$x \to -1+0$ であるので、$x$ は $-1$ より少し大きい値を取ります。

例えば、$x = -0.9$ などです。

このとき、$x - 1$ は $-1 - 1 = -2$ に近づき、$x + 1$ は正の小さい値に近づきます ($0$ に近づく)。

つまり、$x - 1 < 0$ かつ $x + 1 > 0$ です。

したがって、$(x - 1)(x + 1)$ は負の小さい値に近づきます ($0$ に近づく)。

よって、$\frac{1}{(x - 1)(x + 1)}$ は負の無限大に発散します。

$$\lim_{x \to -1+0} \frac{1}{x^2 - 1} = \lim_{x \to -1+0} \frac{1}{(x - 1)(x + 1)} = -\infty$$

3. 最終的な答え

$$-\infty$$