与えられた関数 $f(x)$ について、$f(3x)$, $f'(x)$, $f'(3x)$, $(f(3x))'$, $f(x^2)$, $f(-x)$, $\int f(x) dx$ を求める問題です。関数 $f(x)$ は以下の3つの場合について計算します。 (1) $f(x) = -2$ (2) $f(x) = (x+2)^2$ (3) $f(x) = (x-1)^3$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ について、$f(3x)$, $f'(x)$, $f'(3x)$, $(f(3x))'$, $f(x^2)$, $f(-x)$, $\int f(x) dx$ を求める問題です。関数 $f(x)$ は以下の3つの場合について計算します。

(1) $f(x) = -2$

(2) $f(x) = (x+2)^2$

(3) $f(x) = (x-1)^3$

2. 解き方の手順

各関数について、与えられた式を順番に計算していきます。

(1) $f(x) = -2$ の場合

* $f(3x) = -2$

* $f'(x) = 0$

* $f'(3x) = 0$

* $(f(3x))' = ( -2 )' = 0$

* $f(x^2) = -2$

* $f(-x) = -2$

* $\int f(x) dx = \int -2 dx = -2x + C$ (Cは積分定数)

(2) $f(x) = (x+2)^2$ の場合

* $f(3x) = (3x+2)^2 = 9x^2 + 12x + 4$

* $f'(x) = 2(x+2) = 2x + 4$

* $f'(3x) = 2(3x) + 4 = 6x+4$

* $(f(3x))' = ( (3x+2)^2 )' = (9x^2 + 12x + 4)' = 18x + 12$

* $f(x^2) = (x^2+2)^2 = x^4 + 4x^2 + 4$

* $f(-x) = (-x+2)^2 = (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$

* $\int f(x) dx = \int (x+2)^2 dx = \int (x^2 + 4x + 4) dx = \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 4x + C$ (Cは積分定数)

(3) $f(x) = (x-1)^3$ の場合

* $f(3x) = (3x-1)^3 = 27x^3 - 27x^2 + 9x - 1$

* $f'(x) = 3(x-1)^2 = 3(x^2 - 2x + 1) = 3x^2 - 6x + 3$

* $f'(3x) = 3(3x)^2 - 6(3x) + 3 = 27x^2 - 18x + 3$

* $(f(3x))' = ( (3x-1)^3 )' = (27x^3 - 27x^2 + 9x - 1)' = 81x^2 - 54x + 9$

* $f(x^2) = (x^2-1)^3 = (x^2-1)(x^4 - 2x^2 + 1) = x^6 - 3x^4 + 3x^2 - 1$

* $f(-x) = (-x-1)^3 = -(x+1)^3 = -(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) = -x^3 - 3x^2 - 3x - 1$

* $\int f(x) dx = \int (x-1)^3 dx = \int (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) dx = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + \frac{3}{2}x^2 - x + C$ (Cは積分定数)

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = -2$ の場合

* $f(3x) = -2$

* $f'(x) = 0$

* $f'(3x) = 0$

* $(f(3x))' = 0$

* $f(x^2) = -2$

* $f(-x) = -2$

* $\int f(x) dx = -2x + C$

(2) $f(x) = (x+2)^2$ の場合

* $f(3x) = 9x^2 + 12x + 4$

* $f'(x) = 2x + 4$

* $f'(3x) = 6x+4$

* $(f(3x))' = 18x + 12$

* $f(x^2) = x^4 + 4x^2 + 4$

* $f(-x) = x^2 - 4x + 4$

* $\int f(x) dx = \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 4x + C$

(3) $f(x) = (x-1)^3$ の場合

* $f(3x) = 27x^3 - 27x^2 + 9x - 1$

* $f'(x) = 3x^2 - 6x + 3$

* $f'(3x) = 27x^2 - 18x + 3$

* $(f(3x))' = 81x^2 - 54x + 9$

* $f(x^2) = x^6 - 3x^4 + 3x^2 - 1$

* $f(-x) = -x^3 - 3x^2 - 3x - 1$

* $\int f(x) dx = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + \frac{3}{2}x^2 - x + C$