与えられた関数 $y = \cosh^4 x - \sinh^4 x$ を簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \cosh^4 x - \sinh^4 x$ を簡略化します。

2. 解き方の手順

まずは因数分解を行います。$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の公式を２回使います。

$y = \cosh^4 x - \sinh^4 x = (\cosh^2 x)^2 - (\sinh^2 x)^2$

$y = (\cosh^2 x + \sinh^2 x)(\cosh^2 x - \sinh^2 x)$

$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ という双曲線関数の恒等式を用いると、

$y = (\cosh^2 x + \sinh^2 x) \cdot 1 = \cosh^2 x + \sinh^2 x$

ここで、$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ と $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ を代入して計算を進めます。

$\cosh^2 x = \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^2 = \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4}$

$\sinh^2 x = \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right)^2 = \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4}$

したがって、

$y = \cosh^2 x + \sinh^2 x = \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} + \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4}$

$y = \frac{2e^{2x} + 2e^{-2x}}{4} = \frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2} = \cosh 2x$

3. 最終的な答え

$y = \cosh 2x$