次の定積分を置換積分を用いて計算する問題です。 $\int_{0}^{1} \frac{1 - x^3}{\sqrt{4x - x^4 + 1}} dx$

1. 問題の内容

次の定積分を置換積分を用いて計算する問題です。

$\int_{0}^{1} \frac{1 - x^3}{\sqrt{4x - x^4 + 1}} dx$

2. 解き方の手順

まず、$t = 4x - x^4 + 1$ と置換します。

すると、$\frac{dt}{dx} = 4 - 4x^3 = 4(1 - x^3)$ となります。

したがって、$dx = \frac{dt}{4(1 - x^3)}$ となります。

また、積分範囲も変わります。

$x = 0$ のとき、$t = 4(0) - (0)^4 + 1 = 1$

$x = 1$ のとき、$t = 4(1) - (1)^4 + 1 = 4 - 1 + 1 = 4$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} \frac{1 - x^3}{\sqrt{4x - x^4 + 1}} dx = \int_{1}^{4} \frac{1 - x^3}{\sqrt{t}} \cdot \frac{dt}{4(1 - x^3)} = \int_{1}^{4} \frac{1}{4\sqrt{t}} dt$

$\int_{1}^{4} \frac{1}{4\sqrt{t}} dt = \frac{1}{4} \int_{1}^{4} t^{-\frac{1}{2}} dt = \frac{1}{4} \left[ \frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \right]_{1}^{4} = \frac{1}{4} \left[ 2\sqrt{t} \right]_{1}^{4} = \frac{1}{4} (2\sqrt{4} - 2\sqrt{1}) = \frac{1}{4}(2 \cdot 2 - 2 \cdot 1) = \frac{1}{4}(4 - 2) = \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$