与えられた定積分を計算する問題です。具体的には、 (1) $\int_{\pi}^{0} \sin x dx$ (2) $\int_{\pi}^{0} \cos x dx$ (3) $\int_{4}^{2} \frac{x}{4} dx$ (4) $\int_{3}^{0} e^x dx$ (5) $\int_{4}^{1} \sqrt{x} dx$ (6) $\int_{3}^{1} e^{\frac{x}{2}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算する問題です。具体的には、

(1) $\int_{\pi}^{0} \sin x dx$

(2) $\int_{\pi}^{0} \cos x dx$

(3) $\int_{4}^{2} \frac{x}{4} dx$

(4) $\int_{3}^{0} e^x dx$

(5) $\int_{4}^{1} \sqrt{x} dx$

(6) $\int_{3}^{1} e^{\frac{x}{2}} dx$

を計算します。

2. 解き方の手順

(1) $\int_{\pi}^{0} \sin x dx$

$\sin x$ の原始関数は $-\cos x$ なので、

$\int_{\pi}^{0} \sin x dx = [-\cos x]_{\pi}^{0} = -\cos 0 - (-\cos \pi) = -1 - (-(-1)) = -1 - 1 = -2$

(2) $\int_{\pi}^{0} \cos x dx$

$\cos x$ の原始関数は $\sin x$ なので、

$\int_{\pi}^{0} \cos x dx = [\sin x]_{\pi}^{0} = \sin 0 - \sin \pi = 0 - 0 = 0$

(3) $\int_{4}^{2} \frac{x}{4} dx$

$\frac{x}{4}$ の原始関数は $\frac{x^2}{8}$ なので、

$\int_{4}^{2} \frac{x}{4} dx = [\frac{x^2}{8}]_{4}^{2} = \frac{2^2}{8} - \frac{4^2}{8} = \frac{4}{8} - \frac{16}{8} = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2}$

(4) $\int_{3}^{0} e^x dx$

$e^x$ の原始関数は $e^x$ なので、

$\int_{3}^{0} e^x dx = [e^x]_{3}^{0} = e^0 - e^3 = 1 - e^3$

(5) $\int_{4}^{1} \sqrt{x} dx$

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ の原始関数は $\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$ なので、

$\int_{4}^{1} \sqrt{x} dx = [\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}]_{4}^{1} = \frac{2}{3}(1^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3}(4^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3} - \frac{2}{3}(8) = \frac{2}{3} - \frac{16}{3} = -\frac{14}{3}$

(6) $\int_{3}^{1} e^{\frac{x}{2}} dx$

$e^{\frac{x}{2}}$ の原始関数は $2e^{\frac{x}{2}}$ なので、

$\int_{3}^{1} e^{\frac{x}{2}} dx = [2e^{\frac{x}{2}}]_{3}^{1} = 2e^{\frac{1}{2}} - 2e^{\frac{3}{2}} = 2e^{\frac{1}{2}} - 2e^{\frac{1}{2}}e = 2e^{\frac{1}{2}}(1-e) = 2\sqrt{e}(1-e)$

3. 最終的な答え

(1) -2

(2) 0

(3) -3/2

(4) $1 - e^3$

(5) -14/3

(6) $2\sqrt{e}(1-e)$