与えられた和 $S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \dots + 8 \cdot 2^7$ を計算し、その結果をA. 1793またはB. 2047の中から選択する問題です。

1. 問題の内容

与えられた和 $S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \dots + 8 \cdot 2^7$ を計算し、その結果をA. 1793またはB. 2047の中から選択する問題です。

2. 解き方の手順

和 $S$ を計算します。

$S = \sum_{k=1}^8 k \cdot 2^{k-1}$

この和を計算するために、次の公式を利用します。

$\sum_{k=1}^n kx^{k-1} = \frac{d}{dx} \sum_{k=1}^n x^k = \frac{d}{dx} \left( \frac{x(1-x^n)}{1-x} \right)$

$= \frac{1-x^n - nx^n(1-x) - x(1-x^n)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1 - x^n - nx^n + nx^{n+1} + x - x^{n+1}}{(1-x)^2}$

$= \frac{1 - (n+1)x^n + nx^{n+1} + x}{(1-x)^2}$

この公式に $n=8$ と $x=2$ を代入します。

$S = \sum_{k=1}^8 k \cdot 2^{k-1} = \frac{1 - (8+1)2^8 + 8 \cdot 2^{8+1} + 2}{(1-2)^2} = \frac{1 - 9 \cdot 2^8 + 8 \cdot 2^9 + 2}{1}$

$= 3 - 9 \cdot 2^8 + 8 \cdot 2^9 = 3 - 9 \cdot 2^8 + 16 \cdot 2^8 = 3 + 7 \cdot 2^8$

$= 3 + 7 \cdot 256 = 3 + 1792 = 1795$

ただし、元の和は $S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \dots + 8 \cdot 2^7$ だったので、

$S = \sum_{k=1}^8 k \cdot 2^{k-1} = \sum_{k=1}^8 k \cdot 2^{k-1}$ と書き換えて、もう一度計算します。

$S = 1 \cdot 2^0 + 2 \cdot 2^1 + 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2^3 + 5 \cdot 2^4 + 6 \cdot 2^5 + 7 \cdot 2^6 + 8 \cdot 2^7$

$S = 1 + 4 + 12 + 32 + 80 + 192 + 448 + 1024 = 1793$

3. 最終的な答え

1793