関数 $f(x)$ が与えられています。 $f(x) = \begin{cases} x & (x \geq 0) \\ -2x + a & (x < 0) \end{cases}$ この関数が実数全体で連続となるように、定数 $a$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が与えられています。

$f(x) = \begin{cases} x & (x \geq 0) \\ -2x + a & (x < 0) \end{cases}$

この関数が実数全体で連続となるように、定数 $a$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が連続であるためには、$x=0$ で連続である必要があります。つまり、$x=0$ での左極限と右極限が一致し、かつその値が $f(0)$ と一致する必要があります。

まず、$f(0)$ を計算します。$x \geq 0$ の場合の定義より、

$f(0) = 0$

次に、$x=0$ における右極限を計算します。$x \geq 0$ の場合の定義より、

$\lim_{x \to +0} f(x) = \lim_{x \to +0} x = 0$

次に、$x=0$ における左極限を計算します。$x < 0$ の場合の定義より、

$\lim_{x \to -0} f(x) = \lim_{x \to -0} (-2x + a) = -2(0) + a = a$

関数が $x=0$ で連続であるためには、

$\lim_{x \to -0} f(x) = \lim_{x \to +0} f(x) = f(0)$

である必要があるので、

$a = 0 = 0$

となります。

3. 最終的な答え

$a = 0$