関数 $f(x)$ が、 $ f(x) = \begin{cases} \frac{\tan 2x}{x} & (x \neq 0) \\ a & (x = 0) \end{cases} $ で定義されている。$-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$ において、$f(x)$ が連続関数になるように、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が、

$f(x) = \begin{cases} \frac{\tan 2x}{x} & (x \neq 0) \\ a & (x = 0) \end{cases}$

で定義されている。$-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$ において、$f(x)$ が連続関数になるように、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

関数が連続であるためには、$x = 0$ における極限値が存在し、その値が $f(0) = a$ と一致する必要がある。

したがって、$\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{x}$ を計算し、その値が $a$ に等しくなるように $a$ を定める。

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であるから、

$\frac{\tan 2x}{x} = \frac{\sin 2x}{x \cos 2x}$

と書ける。$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ であることと、$\lim_{x \to 0} \cos x = 1$ であることを利用する。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x \cos 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{2}{\cos 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{2}{\cos 2x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1$ であり、$\lim_{x \to 0} \frac{2}{\cos 2x} = \frac{2}{1} = 2$ であるから、

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{x} = 1 \cdot 2 = 2$

したがって、$a = 2$ である必要がある。

3. 最終的な答え

$a = 2$