以下の6つの文が正しいかどうかを判定し、正しい場合は①、間違っている場合は②を答える。 (1) $a > 0$ なるすべての実数 $a$ に対し、指数関数 $a^x$ は定義される。 (2) $\sqrt[6]{-3}$ という数は、定義されない。 (3) $\sqrt[5]{-8}$ という数は、定義されない。 (4) $0 < a < 1$ ならば、指数関数 $a^x$ は単調増加である。 (5) 角度 $\theta$ ラジアン, 半径 $r$ の扇形について、弧の長さ $l$ は、$l = r\theta$ である。 (6) $y = f(x)$ を同値変形して $x = g(y)$ となるならば、$f^{-1}(y) = g(y)$ である。

1. 問題の内容

以下の6つの文が正しいかどうかを判定し、正しい場合は①、間違っている場合は②を答える。

(1) $a > 0$ なるすべての実数 $a$ に対し、指数関数 $a^x$ は定義される。

(2) $\sqrt[6]{-3}$ という数は、定義されない。

(3) $\sqrt[5]{-8}$ という数は、定義されない。

(4) $0 < a < 1$ ならば、指数関数 $a^x$ は単調増加である。

(5) 角度 $\theta$ ラジアン, 半径 $r$ の扇形について、弧の長さ $l$ は、$l = r\theta$ である。

(6) $y = f(x)$ を同値変形して $x = g(y)$ となるならば、$f^{-1}(y) = g(y)$ である。

2. 解き方の手順

(1) $a > 0$ ならば $a^x$ は定義されるので、正しい。

(2) 6乗根の中が負の数であるので、実数の範囲では定義されない。正しい。

(3) 5乗根の中が負の数であっても、実数の範囲で定義される。例えば、$\sqrt[5]{-8} = -\sqrt[5]{8}$。よって、間違っている。

(4) $0 < a < 1$ のとき、指数関数 $a^x$ は単調減少関数である。よって、間違っている。

(5) 角度 $\theta$ (ラジアン)、半径 $r$ の扇形の弧の長さ $l$ は $l = r\theta$ で表される。よって、正しい。

(6) $y = f(x)$ を同値変形して $x = g(y)$ となるならば、$g(y)$ は $f(x)$ の逆関数を表す。したがって、$f^{-1}(y) = g(y)$ は正しい。

3. 最終的な答え

(1) ①

(2) ①

(3) ②

(4) ②

(5) ①

(6) ①