与えられた6つの線形同次常微分方程式の一般解を求める問題です。 (1) $y''' + y'' - 4y' - 4y = 0$ (2) $y''' - 4y'' + 4y' = 0$ (3) $y''' - 6y'' + 12y' - 8y = 0$ (4) $y^{(4)} + y'' = 0$ (5) $y''' - 6y'' + 11y' - 6y = 0$ (6) $y''' + 3y'' + 9y' - 13y = 0$

1. 問題の内容

与えられた6つの線形同次常微分方程式の一般解を求める問題です。

(1) $y''' + y'' - 4y' - 4y = 0$

(2) $y''' - 4y'' + 4y' = 0$

(3) $y''' - 6y'' + 12y' - 8y = 0$

(4) $y^{(4)} + y'' = 0$

(5) $y''' - 6y'' + 11y' - 6y = 0$

(6) $y''' + 3y'' + 9y' - 13y = 0$

2. 解き方の手順

これらの微分方程式は、すべて線形同次であるため、特性方程式を立ててその解を求めることで一般解を導出できます。特性方程式の解の種類によって、一般解の形が変わります。

(1) $y''' + y'' - 4y' - 4y = 0$

特性方程式は $r^3 + r^2 - 4r - 4 = 0$ となります。

因数分解すると $(r+1)(r-2)(r+2) = 0$ となり、解は $r = -1, 2, -2$ です。

したがって、一般解は $y = c_1e^{-x} + c_2e^{2x} + c_3e^{-2x}$ となります。

(2) $y''' - 4y'' + 4y' = 0$

特性方程式は $r^3 - 4r^2 + 4r = 0$ となります。

因数分解すると $r(r-2)^2 = 0$ となり、解は $r = 0, 2, 2$ です。

したがって、一般解は $y = c_1 + c_2e^{2x} + c_3xe^{2x}$ となります。

(3) $y''' - 6y'' + 12y' - 8y = 0$

特性方程式は $r^3 - 6r^2 + 12r - 8 = 0$ となります。

これは $(r-2)^3 = 0$ と因数分解でき、解は $r = 2, 2, 2$ です。

したがって、一般解は $y = c_1e^{2x} + c_2xe^{2x} + c_3x^2e^{2x}$ となります。

(4) $y^{(4)} + y'' = 0$

特性方程式は $r^4 + r^2 = 0$ となります。

因数分解すると $r^2(r^2 + 1) = 0$ となり、解は $r = 0, 0, i, -i$ です。

したがって、一般解は $y = c_1 + c_2x + c_3\cos(x) + c_4\sin(x)$ となります。

(5) $y''' - 6y'' + 11y' - 6y = 0$

特性方程式は $r^3 - 6r^2 + 11r - 6 = 0$ となります。

因数分解すると $(r-1)(r-2)(r-3) = 0$ となり、解は $r = 1, 2, 3$ です。

したがって、一般解は $y = c_1e^{x} + c_2e^{2x} + c_3e^{3x}$ となります。

(6) $y''' + 3y'' + 9y' - 13y = 0$

特性方程式は $r^3 + 3r^2 + 9r - 13 = 0$ となります。

$r=1$を代入すると、$1+3+9-13=0$なので、$r=1$は解の一つです。

$r^3 + 3r^2 + 9r - 13 = (r-1)(r^2+4r+13) = 0$

$r^2 + 4r + 13 = 0$の解は、$r = \frac{-4 \pm \sqrt{16-52}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} = -2 \pm 3i$

したがって、一般解は $y = c_1e^{x} + c_2e^{-2x}\cos(3x) + c_3e^{-2x}\sin(3x)$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $y = c_1e^{-x} + c_2e^{2x} + c_3e^{-2x}$

(2) $y = c_1 + c_2e^{2x} + c_3xe^{2x}$

(3) $y = c_1e^{2x} + c_2xe^{2x} + c_3x^2e^{2x}$

(4) $y = c_1 + c_2x + c_3\cos(x) + c_4\sin(x)$

(5) $y = c_1e^{x} + c_2e^{2x} + c_3e^{3x}$

(6) $y = c_1e^{x} + c_2e^{-2x}\cos(3x) + c_3e^{-2x}\sin(3x)$