領域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \leq 1, y \geq x, y \leq -x\}$ において、二重積分 $\iint_D x^2 y^2 \,dx\,dy$ を計算します。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \leq 1, y \geq x, y \leq -x\}$ において、二重積分 $\iint_D x^2 y^2 \,dx\,dy$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、領域$D$を極座標に変換します。

$x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$とすると、$x^2 + y^2 = r^2$となるため、$x^2 + y^2 \leq 1$は$r^2 \leq 1$, すなわち $0 \leq r \leq 1$となります。

また、$y \geq x$は$r \sin \theta \geq r \cos \theta$となり、$r > 0$より$\sin \theta \geq \cos \theta$, すなわち$\tan \theta \geq 1$となり、$\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{5\pi}{4}$となります。

$y \leq -x$は$r \sin \theta \leq -r \cos \theta$となり、$r > 0$より$\sin \theta \leq -\cos \theta$, すなわち$\tan \theta \leq -1$となり、$\frac{3\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{7\pi}{4}$となります。

$y \geq x$と$y \leq -x$の両方を満たすのは$\frac{3\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{5\pi}{4}$の間であり、この部分が円の内部に収まっている領域Dになります。したがって$\frac{3\pi}{4} \leq \theta \leq \pi$, $\pi \leq \theta \leq \frac{5\pi}{4}$ となる２つの領域の和となります。関数$x^2 y^2$は$x$と$y$に関して偶関数なので、積分は$\theta$に関して$\pi$に対して対称になります。したがって$\frac{3\pi}{4} \leq \theta \leq \pi$の範囲の積分を計算し、2倍することによって領域Dでの積分値を求められます。

$x^2 y^2 = (r \cos \theta)^2 (r \sin \theta)^2 = r^4 \cos^2 \theta \sin^2 \theta = r^4 (\cos \theta \sin \theta)^2 = r^4 (\frac{1}{2} \sin(2\theta))^2 = \frac{1}{4} r^4 \sin^2(2\theta)$

$dx\,dy = r \,dr\,d\theta$より、積分は

$\iint_D x^2 y^2 \,dx\,dy = 2 \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi} \int_0^1 \frac{1}{4} r^4 \sin^2(2\theta) \,r \,dr\,d\theta$

$= \frac{1}{2} \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi} \int_0^1 r^5 \sin^2(2\theta) \,dr\,d\theta$

$= \frac{1}{2} \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi} \sin^2(2\theta) [\frac{r^6}{6}]_0^1 \,d\theta$

$= \frac{1}{2} \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi} \sin^2(2\theta) \frac{1}{6} \,d\theta$

$= \frac{1}{12} \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi} \sin^2(2\theta) \,d\theta$

$= \frac{1}{12} \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi} \frac{1 - \cos(4\theta)}{2} \,d\theta$

$= \frac{1}{24} \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi} (1 - \cos(4\theta)) \,d\theta$

$= \frac{1}{24} [\theta - \frac{1}{4} \sin(4\theta)]_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi}$

$= \frac{1}{24} [(\pi - \frac{1}{4} \sin(4\pi)) - (\frac{3\pi}{4} - \frac{1}{4} \sin(3\pi))]$

$= \frac{1}{24} [\pi - \frac{3\pi}{4}]$

$= \frac{1}{24} [\frac{\pi}{4}]$

$= \frac{\pi}{96}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{96}$