与えられた関数の微分を求める問題です。具体的には、以下の8つの関数について、それぞれ微分を計算します。 (1) $y = x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 4x + 1$ (2) $s = \frac{t^2 - 2t + 2}{2}$ (3) $y = (x^2 + 3)(2x - 1)$ (4) $s = \frac{2}{t^3} + \frac{2t - 1}{t + 1}$ (5) $y = \frac{x^2 + 2x - 2}{\sqrt{x}}$ (6) $s = \frac{1}{t\sqrt{t}}$ (7) $y = (3x - 2)^4$ (8) $s = \sqrt[3]{3t - 4}$

1. 問題の内容

与えられた関数の微分を求める問題です。具体的には、以下の8つの関数について、それぞれ微分を計算します。

(1) $y = x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 4x + 1$

(2) $s = \frac{t^2 - 2t + 2}{2}$

(3) $y = (x^2 + 3)(2x - 1)$

(4) $s = \frac{2}{t^3} + \frac{2t - 1}{t + 1}$

(5) $y = \frac{x^2 + 2x - 2}{\sqrt{x}}$

(6) $s = \frac{1}{t\sqrt{t}}$

(7) $y = (3x - 2)^4$

(8) $s = \sqrt[3]{3t - 4}$

2. 解き方の手順

(1) 各項を個別に微分します。$y' = 4x^3 - 9x^2 + 4x - 4$

(2) 各項を個別に微分します。$s' = \frac{2t - 2}{2} = t - 1$

(3) 積の微分公式を使用します。$y' = (2x)(2x - 1) + (x^2 + 3)(2) = 4x^2 - 2x + 2x^2 + 6 = 6x^2 - 2x + 6$

(4) 各項を個別に微分します。$\frac{2}{t^3} = 2t^{-3}$なので、その微分は$-6t^{-4} = -\frac{6}{t^4}$。$\frac{2t-1}{t+1}$の微分は商の微分公式を使用します。$\frac{(2)(t+1) - (2t-1)(1)}{(t+1)^2} = \frac{2t + 2 - 2t + 1}{(t+1)^2} = \frac{3}{(t+1)^2}$. したがって、$s' = -\frac{6}{t^4} + \frac{3}{(t+1)^2}$

(5) 商の微分公式を使用します。$y = \frac{x^2 + 2x - 2}{x^{1/2}}$。$y' = \frac{(2x+2)x^{1/2} - (x^2 + 2x - 2)(\frac{1}{2}x^{-1/2})}{x} = \frac{(2x+2)x - (x^2 + 2x - 2)(\frac{1}{2})}{x^{3/2}} = \frac{2x^2 + 2x - \frac{1}{2}x^2 - x + 1}{x^{3/2}} = \frac{\frac{3}{2}x^2 + x + 1}{x^{3/2}} = \frac{3x^2 + 2x + 2}{2x\sqrt{x}}$

(6) $s = \frac{1}{t\sqrt{t}} = t^{-3/2}$なので、$s' = -\frac{3}{2}t^{-5/2} = -\frac{3}{2t^2\sqrt{t}}$

(7) 合成関数の微分を使用します。$y' = 4(3x - 2)^3(3) = 12(3x - 2)^3$

(8) 合成関数の微分を使用します。$s = (3t - 4)^{1/3}$なので、$s' = \frac{1}{3}(3t - 4)^{-2/3}(3) = (3t - 4)^{-2/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{(3t - 4)^2}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 4x^3 - 9x^2 + 4x - 4$

(2) $s' = t - 1$

(3) $y' = 6x^2 - 2x + 6$

(4) $s' = -\frac{6}{t^4} + \frac{3}{(t+1)^2}$

(5) $y' = \frac{3x^2 + 2x + 2}{2x\sqrt{x}}$

(6) $s' = -\frac{3}{2t^2\sqrt{t}}$

(7) $y' = 12(3x - 2)^3$

(8) $s' = \frac{1}{\sqrt[3]{(3t - 4)^2}}$