2変数関数 $f(x, y) = \sqrt{\frac{x}{y}}$ の全微分を利用して、$\sqrt{\frac{1.01}{3.98}}$ の近似値を小数第3位まで求める問題です。

1. 問題の内容

2変数関数 $f(x, y) = \sqrt{\frac{x}{y}}$ の全微分を利用して、$\sqrt{\frac{1.01}{3.98}}$ の近似値を小数第3位まで求める問題です。

2. 解き方の手順

1. 関数 $f(x, y) = \sqrt{\frac{x}{y}}$ の偏微分を計算します。

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{y}{x}} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{2 \sqrt{xy}}$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{y}{x}} \cdot x \cdot (-\frac{1}{y^2}) = -\frac{x}{2y^2} \sqrt{\frac{y}{x}} = -\frac{\sqrt{x}}{2y \sqrt{y}} = -\frac{\sqrt{x}}{2y^{3/2}}$

2. 全微分の公式を利用します。

$f(x + \Delta x, y + \Delta y) \approx f(x, y) + f_x(x, y) \Delta x + f_y(x, y) \Delta y$

3. 適切な $(x, y)$ と $(\Delta x, \Delta y)$ を選びます。

$x = 1, y = 4$ とすると、$f(x, y) = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} = 0.5$

$\Delta x = 0.01, \Delta y = -0.02$

4. それぞれの偏微分に値を代入します。

$f_x(1, 4) = \frac{1}{2 \sqrt{1 \cdot 4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} = 0.25$

$f_y(1, 4) = -\frac{\sqrt{1}}{2 \cdot 4^{3/2}} = -\frac{1}{2 \cdot 8} = -\frac{1}{16} = -0.0625$

5. 全微分の式に代入して近似値を求めます。

$f(1.01, 3.98) \approx f(1, 4) + f_x(1, 4) \Delta x + f_y(1, 4) \Delta y$

$f(1.01, 3.98) \approx 0.5 + 0.25 \cdot 0.01 + (-0.0625) \cdot (-0.02)$

$f(1.01, 3.98) \approx 0.5 + 0.0025 + 0.00125 = 0.50375$

6. 小数第3位まで求めると、$0.504$ になります。

3. 最終的な答え

0. 504