定積分 $\int_{1}^{e} x \log{x^2} dx$ を計算します。

## 問題 (7)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{e} x \log{x^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を利用して $\log x^2 = 2 \log x$ と変形します。

$\int_{1}^{e} x \log{x^2} dx = \int_{1}^{e} x (2 \log x) dx = 2 \int_{1}^{e} x \log x dx$

次に、部分積分を用いて計算します。$u = \log x$, $dv = x dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ より、

$2 \int_{1}^{e} x \log x dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} \log x \right]_{1}^{e} - 2 \int_{1}^{e} \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx$

$= 2 \left[ \frac{x^2}{2} \log x \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x dx$

$= 2 \left( \frac{e^2}{2} \log e - \frac{1^2}{2} \log 1 \right) - \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{e}$

$= 2 \left( \frac{e^2}{2} (1) - \frac{1}{2} (0) \right) - \left( \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} \right)$

$= e^2 - \frac{e^2}{2} + \frac{1}{2}$

$= \frac{e^2}{2} + \frac{1}{2}$

$= \frac{e^2 + 1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{e^2+1}{2}$

## 問題 (8)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

置換積分を用いて計算します。$u = 1 + \cos x$ とおくと、$du = -\sin x dx$ となります。積分区間も変更します。

$x = 0$ のとき、$u = 1 + \cos 0 = 1 + 1 = 2$

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき、$u = 1 + \cos \frac{\pi}{2} = 1 + 0 = 1$

よって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx = \int_{2}^{1} \frac{-1}{u} du = - \int_{2}^{1} \frac{1}{u} du$

$= \int_{1}^{2} \frac{1}{u} du$

$= \left[ \log |u| \right]_{1}^{2}$

$= \log 2 - \log 1$

$= \log 2 - 0$

$= \log 2$

3. 最終的な答え

$\log 2$