不等式 $\sqrt{2} \cos(2x - \frac{\pi}{4}) \geq 1$ を $0 \leq x \leq \pi$ の範囲で解きます。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{2} \cos(2x - \frac{\pi}{4}) \geq 1$ を $0 \leq x \leq \pi$ の範囲で解きます。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺を $\sqrt{2}$ で割ります。

$\cos(2x - \frac{\pi}{4}) \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$

次に、$t = 2x - \frac{\pi}{4}$ と置きます。

$0 \leq x \leq \pi$ より、$0 \leq 2x \leq 2\pi$ なので、$-\frac{\pi}{4} \leq 2x - \frac{\pi}{4} \leq 2\pi - \frac{\pi}{4}$ となります。

つまり、$-\frac{\pi}{4} \leq t \leq \frac{7\pi}{4}$ です。

$\cos(t) \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$ を $-\frac{\pi}{4} \leq t \leq \frac{7\pi}{4}$ の範囲で解きます。

$\cos(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $t$ の値は、$t = \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ です。

$-\frac{\pi}{4} \leq t \leq \frac{\pi}{4}$ および $\frac{7\pi}{4} \leq t \leq \frac{7\pi}{4}$ は解になります。

したがって、$-\frac{\pi}{4} \leq 2x - \frac{\pi}{4} \leq \frac{\pi}{4}$

各辺に $\frac{\pi}{4}$ を足すと、

$0 \leq 2x \leq \frac{\pi}{2}$

各辺を2で割ると、

$0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$