領域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \le 1, y \ge x, y \le -x\}$ 上で、二重積分 $\iint_D x^2 y^2 \, dxdy$ を計算します。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \le 1, y \ge x, y \le -x\}$ 上で、二重積分 $\iint_D x^2 y^2 \, dxdy$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、領域 $D$ を極座標で表します。$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ とすると、$x^2 + y^2 = r^2$ となります。したがって、$x^2 + y^2 \le 1$ は $r^2 \le 1$、つまり $0 \le r \le 1$ となります。

次に、$y \ge x$ は $r\sin\theta \ge r\cos\theta$、つまり $\sin\theta \ge \cos\theta$ となります。これは $\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{5\pi}{4}$ を意味します。

また、$y \le -x$ は $r\sin\theta \le -r\cos\theta$、つまり $\sin\theta \le -\cos\theta$ となります。これは $\frac{3\pi}{4} \le \theta \le \frac{7\pi}{4}$ を意味します。

これらを合わせると、$\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{5\pi}{4}$ と $\frac{3\pi}{4} \le \theta \le \frac{7\pi}{4}$ の共通部分を考えます。すると、領域Dは$y \ge x$ と $y \le -x$を満たす円の領域なので、角度の範囲は$\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{3\pi}{4}$と$\frac{5\pi}{4} \le \theta \le \frac{7\pi}{4}$となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\iint_D x^2 y^2 \, dxdy = \int_{\pi/4}^{3\pi/4} \int_0^1 (r\cos\theta)^2 (r\sin\theta)^2 r \, dr d\theta + \int_{5\pi/4}^{7\pi/4} \int_0^1 (r\cos\theta)^2 (r\sin\theta)^2 r \, dr d\theta$

ここで、被積分関数を整理すると、

$x^2 y^2 = (r\cos\theta)^2 (r\sin\theta)^2 = r^4 \cos^2\theta \sin^2\theta$

また、$dxdy = r \, dr d\theta$ なので、

$\iint_D x^2 y^2 \, dxdy = \int_{\pi/4}^{3\pi/4} \int_0^1 r^5 \cos^2\theta \sin^2\theta \, dr d\theta + \int_{5\pi/4}^{7\pi/4} \int_0^1 r^5 \cos^2\theta \sin^2\theta \, dr d\theta$

$I = \int_0^1 r^5 \, dr = \left[\frac{1}{6}r^6\right]_0^1 = \frac{1}{6}$

$J_1 = \int_{\pi/4}^{3\pi/4} \cos^2\theta \sin^2\theta \, d\theta = \int_{\pi/4}^{3\pi/4} (\frac{1}{2}\sin 2\theta)^2 \, d\theta = \frac{1}{4}\int_{\pi/4}^{3\pi/4} \sin^2 2\theta \, d\theta = \frac{1}{4}\int_{\pi/4}^{3\pi/4} \frac{1 - \cos 4\theta}{2} \, d\theta$

$J_1 = \frac{1}{8} \left[\theta - \frac{1}{4}\sin 4\theta\right]_{\pi/4}^{3\pi/4} = \frac{1}{8} \left[\frac{3\pi}{4} - \frac{1}{4}\sin 3\pi - (\frac{\pi}{4} - \frac{1}{4}\sin \pi)\right] = \frac{1}{8} \left[\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right] = \frac{1}{8} \cdot \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{16}$

$J_2 = \int_{5\pi/4}^{7\pi/4} \cos^2\theta \sin^2\theta \, d\theta = \frac{1}{4}\int_{5\pi/4}^{7\pi/4} \sin^2 2\theta \, d\theta = \frac{1}{4}\int_{5\pi/4}^{7\pi/4} \frac{1 - \cos 4\theta}{2} \, d\theta$

$J_2 = \frac{1}{8} \left[\theta - \frac{1}{4}\sin 4\theta\right]_{5\pi/4}^{7\pi/4} = \frac{1}{8} \left[\frac{7\pi}{4} - \frac{1}{4}\sin 7\pi - (\frac{5\pi}{4} - \frac{1}{4}\sin 5\pi)\right] = \frac{1}{8} \left[\frac{7\pi}{4} - \frac{5\pi}{4}\right] = \frac{1}{8} \cdot \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{16}$

したがって、$\iint_D x^2 y^2 \, dxdy = \frac{1}{6} \cdot \frac{\pi}{16} + \frac{1}{6} \cdot \frac{\pi}{16} = \frac{2\pi}{96} = \frac{\pi}{48}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{48}$