与えられた曲線上の、指定された$x$座標に対応する点における法線の方程式を求める問題です。 (1) $y = x^3 - 3x^2 - 1$ ($x = 3$) (2) $y = \tan x$ ($x = \frac{\pi}{4}$)

1. 問題の内容

与えられた曲線上の、指定された$x$座標に対応する点における法線の方程式を求める問題です。

(1) $y = x^3 - 3x^2 - 1$ ($x = 3$)

(2) $y = \tan x$ ($x = \frac{\pi}{4}$)

2. 解き方の手順

(1) $y = x^3 - 3x^2 - 1$ ($x = 3$)の場合

ステップ1: $x = 3$のときの$y$座標を求めます。

$y = (3)^3 - 3(3)^2 - 1 = 27 - 27 - 1 = -1$

したがって、点$(3, -1)$における法線を求めます。

ステップ2: 導関数を求めます。

$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x$

ステップ3: $x = 3$における導関数の値を求めます。これは接線の傾きに等しくなります。

$\frac{dy}{dx}|_{x=3} = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9$

ステップ4: 法線の傾きを求めます。法線は接線に垂直なので、法線の傾きは接線の傾きの逆数の負符号を取ったものです。

法線の傾き $= -\frac{1}{9}$

ステップ5: 法線の方程式を求めます。点$(3, -1)$を通り、傾きが$-\frac{1}{9}$の直線の方程式は次の通りです。

$y - (-1) = -\frac{1}{9}(x - 3)$

$y + 1 = -\frac{1}{9}x + \frac{1}{3}$

$y = -\frac{1}{9}x + \frac{1}{3} - 1$

$y = -\frac{1}{9}x - \frac{2}{3}$

(2) $y = \tan x$ ($x = \frac{\pi}{4}$)の場合

ステップ1: $x = \frac{\pi}{4}$のときの$y$座標を求めます。

$y = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$

したがって、点$(\frac{\pi}{4}, 1)$における法線を求めます。

ステップ2: 導関数を求めます。

$\frac{dy}{dx} = \sec^2 x$

ステップ3: $x = \frac{\pi}{4}$における導関数の値を求めます。これは接線の傾きに等しくなります。

$\frac{dy}{dx}|_{x=\frac{\pi}{4}} = \sec^2(\frac{\pi}{4}) = (\sqrt{2})^2 = 2$

ステップ4: 法線の傾きを求めます。法線は接線に垂直なので、法線の傾きは接線の傾きの逆数の負符号を取ったものです。

法線の傾き $= -\frac{1}{2}$

ステップ5: 法線の方程式を求めます。点$(\frac{\pi}{4}, 1)$を通り、傾きが$-\frac{1}{2}$の直線の方程式は次の通りです。

$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{4})$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{8} + 1$

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{1}{9}x - \frac{2}{3}$

(2) $y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{8} + 1$