領域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \leq 1, y \geq x, y \leq -x\}$ 上で、二重積分 $\iint_D x^2 y^2 \, dx \, dy$ を計算します。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \leq 1, y \geq x, y \leq -x\}$ 上で、二重積分 $\iint_D x^2 y^2 \, dx \, dy$ を計算します。

2. 解き方の手順

領域 $D$ は、$x^2 + y^2 \leq 1$ より単位円の内部（境界を含む）であり、$y \geq x$ および $y \leq -x$ より、第2象限に位置する領域です。

極座標変換 $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$ を用います。このとき、$dx \, dy = r \, dr \, d\theta$ となります。

$x^2 + y^2 \leq 1$ より、$r^2 \leq 1$ となり、$0 \leq r \leq 1$ です。

$y \geq x$ より、$r \sin \theta \geq r \cos \theta$ であり、$\tan \theta \geq 1$ となるため、$\theta \geq \frac{\pi}{4}$ です。

$y \leq -x$ より、$r \sin \theta \leq -r \cos \theta$ であり、$\tan \theta \leq -1$ となるため、$\theta \leq \frac{3\pi}{4}$ です。

したがって、$\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{3\pi}{4}$ となります。

与えられた二重積分は、極座標で以下のように書き換えられます。

$\iint_D x^2 y^2 \, dx \, dy = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \int_0^1 (r \cos \theta)^2 (r \sin \theta)^2 r \, dr \, d\theta = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \int_0^1 r^5 \cos^2 \theta \sin^2 \theta \, dr \, d\theta$

まず、$r$ について積分します。

$\int_0^1 r^5 \, dr = \left[ \frac{r^6}{6} \right]_0^1 = \frac{1}{6}$

次に、$\theta$ について積分します。

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \cos^2 \theta \sin^2 \theta \, d\theta = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} (\cos \theta \sin \theta)^2 \, d\theta = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \left( \frac{1}{2} \sin(2\theta) \right)^2 \, d\theta = \frac{1}{4} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \sin^2(2\theta) \, d\theta$

$\sin^2(2\theta) = \frac{1 - \cos(4\theta)}{2}$ より、

$\frac{1}{4} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{1 - \cos(4\theta)}{2} \, d\theta = \frac{1}{8} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} (1 - \cos(4\theta)) \, d\theta = \frac{1}{8} \left[ \theta - \frac{1}{4} \sin(4\theta) \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} = \frac{1}{8} \left[ \left( \frac{3\pi}{4} - \frac{1}{4} \sin(3\pi) \right) - \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{4} \sin(\pi) \right) \right] = \frac{1}{8} \left[ \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} \right] = \frac{1}{8} \left( \frac{2\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{16}$

したがって、

$\iint_D x^2 y^2 \, dx \, dy = \frac{1}{6} \cdot \frac{\pi}{16} = \frac{\pi}{96}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{96}$