与えられた2つの極限を求めます。 (1) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{x - \frac{\pi}{2}}$ (2) $\lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{x}$

1. 問題の内容

与えられた2つの極限を求めます。

(1) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{x - \frac{\pi}{2}}$

(2) $\lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{x - \frac{\pi}{2}}$

$x - \frac{\pi}{2} = t$ とおくと、$x = t + \frac{\pi}{2}$ となり、$x \to \frac{\pi}{2}$ のとき $t \to 0$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{x - \frac{\pi}{2}} = \lim_{t \to 0} \frac{\cos (t + \frac{\pi}{2})}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{-\sin t}{t}$

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$ を用いると、

$\lim_{t \to 0} \frac{-\sin t}{t} = -1$

(2) $\lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{x}$

$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \sin t = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t}$

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$ を用いると、

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$

3. 最終的な答え

(1) -1

(2) 1