関数 $f(x) = log(log(log(x^2+1))))$ の微分を求める問題です。ここで $log$ は自然対数とします。

## (1) $log(log(log(x^2+1))))$ の微分

1. 問題の内容

関数 $f(x) = log(log(log(x^2+1))))$ の微分を求める問題です。ここで $log$ は自然対数とします。

2. 解き方の手順

合成関数の微分を用いる。

* まず、$u = log(x^2+1)$ とおく。すると、$log(log(u))$ となる。

* 次に、$v = log(u)$ とおく。すると、$log(v)$ となる。

$f(x) = log(v)$ より、$f'(x) = \frac{df}{dv} \cdot \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ となる。

* $\frac{df}{dv} = \frac{1}{v}$

* $\frac{dv}{du} = \frac{1}{u}$

* $\frac{du}{dx} = \frac{2x}{x^2+1}$

したがって、

$f'(x) = \frac{1}{v} \cdot \frac{1}{u} \cdot \frac{2x}{x^2+1} = \frac{1}{log(log(x^2+1))} \cdot \frac{1}{log(x^2+1)} \cdot \frac{2x}{x^2+1}$

3. 最終的な答え

$\frac{2x}{(x^2+1)log(x^2+1)log(log(x^2+1))}$

## (2) $x^{cosx}$ の微分

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^{cosx}$ の微分を求める問題です。 ただし、$x>0$。

2. 解き方の手順

対数微分法を用いる。

$y = x^{cosx}$とおく。両辺の自然対数をとると、

$log(y) = cosx log(x)$

両辺をxで微分すると、

$\frac{y'}{y} = -sinx log(x) + cosx \frac{1}{x}$

$y' = y (-sinx log(x) + \frac{cosx}{x}) = x^{cosx} (-sinx log(x) + \frac{cosx}{x})$

3. 最終的な答え

$x^{cosx} (-sinx log(x) + \frac{cosx}{x})$

## (3) $cos^{-1}(\frac{1+2sin(x)}{2+sin(x)})$ の微分

1. 問題の内容

関数 $f(x) = cos^{-1}(\frac{1+2sin(x)}{2+sin(x)})$ の微分を求める問題です。

2. 解き方の手順

合成関数の微分を用いる。

$u = \frac{1+2sin(x)}{2+sin(x)}$とおくと、$f(x) = cos^{-1}(u)$

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{df}{du} = \frac{-1}{\sqrt{1-u^2}}$

$u = \frac{1+2sin(x)}{2+sin(x)}$について

$\frac{du}{dx} = \frac{2cos(x)(2+sin(x)) - (1+2sin(x))cos(x)}{(2+sin(x))^2} = \frac{4cos(x) + 2sin(x)cos(x) - cos(x) - 2sin(x)cos(x)}{(2+sin(x))^2} = \frac{3cos(x)}{(2+sin(x))^2}$

$1-u^2 = 1 - (\frac{1+2sin(x)}{2+sin(x)})^2 = \frac{(2+sin(x))^2 - (1+2sin(x))^2}{(2+sin(x))^2} = \frac{4+4sin(x)+sin^2(x) - 1 - 4sin(x) - 4sin^2(x)}{(2+sin(x))^2} = \frac{3-3sin^2(x)}{(2+sin(x))^2} = \frac{3cos^2(x)}{(2+sin(x))^2}$

$\sqrt{1-u^2} = \sqrt{\frac{3cos^2(x)}{(2+sin(x))^2}} = \frac{\sqrt{3}|cos(x)|}{2+sin(x)}$

$\frac{df}{dx} = \frac{-1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{-1}{\frac{\sqrt{3}|cos(x)|}{2+sin(x)}} \cdot \frac{3cos(x)}{(2+sin(x))^2} = \frac{-(2+sin(x))}{\sqrt{3}|cos(x)|} \cdot \frac{3cos(x)}{(2+sin(x))^2} = \frac{-3cos(x)}{\sqrt{3}|cos(x)|(2+sin(x))} = \frac{-\sqrt{3}cos(x)}{|cos(x)|(2+sin(x))}$

$cos(x) > 0$のとき $\frac{-\sqrt{3}}{2+sin(x)}$, $cos(x) < 0$のとき $\frac{\sqrt{3}}{2+sin(x)}$

3. 最終的な答え

$\frac{-\sqrt{3}cos(x)}{|cos(x)|(2+sin(x))}$

または、$cos(x) > 0$のとき $\frac{-\sqrt{3}}{2+sin(x)}$, $cos(x) < 0$のとき $\frac{\sqrt{3}}{2+sin(x)}$