与えられた関数を $x^n$ の形に直し、定理7.3を用いて微分する。 (1) $f(x) = x^2 x^5$ (2) $f(x) = \frac{1}{x^2}$ (3) $f(x) = x^2 \sqrt{x}$ (4) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$

1. 問題の内容

与えられた関数を $x^n$ の形に直し、定理7.3を用いて微分する。

(1) $f(x) = x^2 x^5$

(2) $f(x) = \frac{1}{x^2}$

(3) $f(x) = x^2 \sqrt{x}$

(4) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$

2. 解き方の手順

定理7.3とは、おそらく $f(x) = x^n$ のとき $f'(x) = nx^{n-1}$ であるという定理であると推測します。

(1) $f(x) = x^2 x^5$

$x^a x^b = x^{a+b}$ より、$f(x) = x^{2+5} = x^7$

$f'(x) = 7x^{7-1} = 7x^6$

(2) $f(x) = \frac{1}{x^2}$

$\frac{1}{x^a} = x^{-a}$ より、$f(x) = x^{-2}$

$f'(x) = -2x^{-2-1} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$

(3) $f(x) = x^2 \sqrt{x}$

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ より、$f(x) = x^2 x^{\frac{1}{2}}$

$f(x) = x^{2 + \frac{1}{2}} = x^{\frac{5}{2}}$

$f'(x) = \frac{5}{2}x^{\frac{5}{2} - 1} = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} = \frac{5}{2}x\sqrt{x}$

(4) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$

$f(x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{-\frac{1}{2}}$

$f'(x) = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2} - 1} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = 7x^6$

(2) $f'(x) = -\frac{2}{x^3}$

(3) $f'(x) = \frac{5}{2}x\sqrt{x}$

(4) $f'(x) = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$