与えられた三角関数の式 $\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) - \sin\theta$ を、三角関数の合成を用いて一つのsin関数で表す問題です。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の式 $\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) - \sin\theta$ を、三角関数の合成を用いて一つのsin関数で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sin(\theta - \frac{\pi}{3})$ を三角関数の加法定理を用いて展開します。

$$\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = \sin\theta \cos\frac{\pi}{3} - \cos\theta \sin\frac{\pi}{3}$$

$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ 、 $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であるから、

$$\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\sin\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta$$

与えられた式に代入すると、

$$\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) - \sin\theta = \frac{1}{2}\sin\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta - \sin\theta = -\frac{1}{2}\sin\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta$$

次に、三角関数の合成を行います。$-\frac{1}{2}\sin\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta$ を $R\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形します。

$R = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$

$\cos\alpha = -\frac{1}{2}$ 、 $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\alpha$ を求めると、$\alpha = \frac{4\pi}{3}$ または $\alpha = -\frac{2\pi}{3}$ です。

したがって、

$$-\frac{1}{2}\sin\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta = \sin(\theta + \frac{4\pi}{3}) = \sin(\theta - \frac{2\pi}{3})$$

3. 最終的な答え

$\sin(\theta - \frac{2\pi}{3})$