画像には3つの問題があります。 問1: 関数 $y = x^{1/2}$ (ただし、$x \geq 0$) の逆関数を求め、関数とその逆関数のグラフを描画する。 問2: 加法定理を用いて $\sin 15^\circ$ の値を求める (値は分数で表す)。 問3: $\lim_{x \to +0} x^x$ の極限値を求め、$\log y$ の極限値より求める。

解析学逆関数三角関数加法定理極限ロピタルの定理
2025/7/18

1. 問題の内容

画像には3つの問題があります。
問1: 関数 y=x1/2y = x^{1/2} (ただし、x0x \geq 0) の逆関数を求め、関数とその逆関数のグラフを描画する。
問2: 加法定理を用いて sin15\sin 15^\circ の値を求める (値は分数で表す)。
問3: limx+0xx\lim_{x \to +0} x^x の極限値を求め、logy\log y の極限値より求める。

2. 解き方の手順

問1:
* 逆関数を求める。y=x1/2y = x^{1/2} より y2=xy^2 = x。したがって、xxyy を入れ替えて、y=x2y = x^2 (ただし、x0x \geq 0) が逆関数。
* グラフを描く。y=x1/2y = x^{1/2}(0,0)(0, 0) を通り、xx が増加すると yy も増加するグラフ。y=x2y = x^2 (ただし、x0x \geq 0) は (0,0)(0, 0) を通り、xx が増加すると yy も増加するグラフ。y=xy = x に関して対称になるように描く。
問2:
加法定理を用いて sin15=sin(4530)\sin 15^\circ = \sin (45^\circ - 30^\circ) を計算する。
加法定理より、
sin(AB)=sinAcosBcosAsinB\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B
したがって、
sin15=sin45cos30cos45sin30\sin 15^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ
=22322212=624= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}.
問3:
y=limx+0xxy = \lim_{x \to +0} x^x を求める。両辺の自然対数をとると、
logy=limx+0log(xx)=limx+0xlogx\log y = \lim_{x \to +0} \log(x^x) = \lim_{x \to +0} x \log x.
ここで、xlogx=logx1/xx \log x = \frac{\log x}{1/x} と変形すると、ロピタルの定理が使える。
limx+0logx1/x=limx+01/x1/x2=limx+0(x)=0\lim_{x \to +0} \frac{\log x}{1/x} = \lim_{x \to +0} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to +0} (-x) = 0.
したがって、logy=0\log y = 0 より、y=e0=1y = e^0 = 1.

3. 最終的な答え

問1: 逆関数は y=x2y = x^2 (x0x \geq 0)。グラフは省略。
問2: sin15=624\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
問3: limx+0xx=1\lim_{x \to +0} x^x = 1

「解析学」の関連問題

次の級数が発散することを示します。 (1) $\sum \cos n$ (2) $\sum (-1)^{n-1} \frac{n}{n+1}$

級数収束発散極限三角関数
2025/7/20

次の級数の和を求める問題です。 (1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 4n + 3}$ (2) $\sum_{n=1}^{\infty} (-\frac{1}...

級数部分分数分解等比級数無限級数収束
2025/7/20

$\frac{\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{5\pi}{6}$ のとき、$\sin(2\theta - \frac{\pi}{6}) - \cos 2\theta$ の...

三角関数最大値最小値三角関数の合成
2025/7/20

関数 $f(x) = \frac{1-x}{1+x}$ の導関数 $f'(x)$ を求め、その $x=1$ における値 $f'(1)$ を計算する問題です。

導関数微分商の微分公式関数の微分
2025/7/20

関数 $f(x) = 2\sqrt{x^2}$ が与えられたとき、$f'(1)$ の値を求めよ。

微分関数の微分絶対値導関数
2025/7/20

関数 $f(x) = 2\sqrt{x}$ が与えられたとき、$f'(1)$ の値を求めなさい。

導関数微分関数の微分
2025/7/20

関数 $f(x) = 2\sqrt{x}$ が与えられたとき、$f'(1)$ を求める問題です。

微分関数の微分導関数
2025/7/20

次の値を求めよ。 (1) $\operatorname{Sin}^{-1}\left(\sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$ (2) $\operatorna...

逆三角関数三角関数sincos定義域
2025/7/20

与えられた不定積分を計算します。 $$\int \cos^2 \left( \frac{5t-3}{4} \right) dt$$

積分不定積分三角関数置換積分
2025/7/20

与えられた関数の第 $n$ 次導関数を求めます。 (1) $y = e^x + e^{-x}$ (2) $y = \frac{1}{x}$

導関数微分指数関数関数の微分
2025/7/20