$\frac{\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{5\pi}{6}$ のとき、$\sin(2\theta - \frac{\pi}{6}) - \cos 2\theta$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{5\pi}{6}$ のとき、$\sin(2\theta - \frac{\pi}{6}) - \cos 2\theta$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sin(2\theta - \frac{\pi}{6})$ を三角関数の加法定理を用いて展開します。

$$\sin(2\theta - \frac{\pi}{6}) = \sin 2\theta \cos \frac{\pi}{6} - \cos 2\theta \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2\theta - \frac{1}{2} \cos 2\theta$$

したがって、与えられた式は、

$$\sin(2\theta - \frac{\pi}{6}) - \cos 2\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2\theta - \frac{1}{2} \cos 2\theta - \cos 2\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2\theta - \frac{3}{2} \cos 2\theta$$

さらに三角関数の合成を行います。

$$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2\theta - \frac{3}{2} \cos 2\theta = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2} \sin (2\theta + \alpha) = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{9}{4}} \sin (2\theta + \alpha) = \sqrt{\frac{12}{4}} \sin (2\theta + \alpha) = \sqrt{3} \sin(2\theta + \alpha)$$

ここで、$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$、$\sin \alpha = \frac{-3/2}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となるので、$\alpha = -\frac{\pi}{3}$ です。

したがって、

$$\sin(2\theta - \frac{\pi}{6}) - \cos 2\theta = \sqrt{3} \sin(2\theta - \frac{\pi}{3})$$

$\frac{\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{5\pi}{6}$ より、$2 \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} \leq 2\theta - \frac{\pi}{3} \leq 2 \cdot \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3}$ となり、

$0 \leq 2\theta - \frac{\pi}{3} \leq \frac{5\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ です。

$\sin x$ の取りうる値の範囲は$-1 \leq \sin x \leq 1$ なので、

$2\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ のとき最大値 $\sqrt{3}$ を取り、$2\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2}$ のとき最小値 $-\sqrt{3}$ を取ります。

$2\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ のとき $2\theta = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}$ より $\theta = \frac{5\pi}{12}$ であり、これは$\frac{\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{5\pi}{6}$を満たします。

$2\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2}$ のとき $2\theta = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{6}$ より $\theta = \frac{11\pi}{12}$ であり、これは$\frac{\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{5\pi}{6}$を満たします。

3. 最終的な答え

最大値は $\sqrt{3}$ であり、最小値は $-\sqrt{3}$ である。