与えられた無限級数の値を求める問題です。無限級数は以下の通りです。 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k-1)^2}$

1. 問題の内容

与えられた無限級数の値を求める問題です。無限級数は以下の通りです。

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k-1)^2}$

2. 解き方の手順

まず、この級数の添字が1から始まっていることに注意します。$k=1$のとき、分母は$(1-1)^2 = 0$となり、定義されません。したがって、この級数は定義されません。

ただし、$k=2$から始まる級数であれば、計算可能です。つまり、級数が $\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{(k-1)^2}$ の場合を考えます。

このとき、$j = k - 1$ とおくと、$k = j + 1$ となり、$k$が2から無限大まで動くとき、$j$は1から無限大まで動きます。したがって、級数は次のように書き換えられます。

$\sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{j^2}$

この級数は、$\zeta(2)$ と表され、リーマンゼータ関数の $s=2$ の場合の値です。$\zeta(2) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ であることが知られています。

3. 最終的な答え

元の級数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k-1)^2}$ は $k=1$ で定義されないため発散します。

もし級数が $\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{(k-1)^2}$ であれば、$\frac{\pi^2}{6}$ が答えです。