与えられた数列 $a_n$ に対し、無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ が収束するかどうかを調べる問題です。具体的には、以下の数列 $a_n$ について、級数の収束・発散を判定します。 (1) $a_n = \frac{n+1}{n^3 - n^2 + 2}$ (2) $a_n = \frac{n+2}{n^2 + 3n + 6}$ (3) $a_n = \frac{1}{n^2}\sin\frac{1}{n!}$ (4) $a_n = \frac{1}{\log(n+1)}$ (5) $a_n = \frac{2^n}{n!}$ (6) $a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!}$ (7) $a_n = (\frac{n}{n+1})^{n^2}$ (8) $a_n = (\frac{n}{n+1})^{n}$

1. 問題の内容

与えられた数列 $a_n$ に対し、無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ が収束するかどうかを調べる問題です。具体的には、以下の数列 $a_n$ について、級数の収束・発散を判定します。

(1) $a_n = \frac{n+1}{n^3 - n^2 + 2}$

(2) $a_n = \frac{n+2}{n^2 + 3n + 6}$

(3) $a_n = \frac{1}{n^2}\sin\frac{1}{n!}$

(4) $a_n = \frac{1}{\log(n+1)}$

(5) $a_n = \frac{2^n}{n!}$

(6) $a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!}$

(7) $a_n = (\frac{n}{n+1})^{n^2}$

(8) $a_n = (\frac{n}{n+1})^{n}$

2. 解き方の手順

(1) $a_n = \frac{n+1}{n^3 - n^2 + 2}$:

$a_n$ は $n \rightarrow \infty$ で $\frac{n}{n^3} = \frac{1}{n^2}$ と同様の振る舞いをします。

$\sum \frac{1}{n^2}$ は収束するので、$a_n$ の級数も収束する可能性があります。

極限比較判定法を用いると、$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{1/n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2(n+1)}{n^3-n^2+2} = 1$ となり、$\sum \frac{1}{n^2}$ が収束するため、$\sum a_n$ も収束します。

(2) $a_n = \frac{n+2}{n^2 + 3n + 6}$:

$a_n$ は $n \rightarrow \infty$ で $\frac{n}{n^2} = \frac{1}{n}$ と同様の振る舞いをします。

$\sum \frac{1}{n}$ は発散するので、$a_n$ の級数も発散する可能性があります。

極限比較判定法を用いると、$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{1/n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n(n+2)}{n^2+3n+6} = 1$ となり、$\sum \frac{1}{n}$ が発散するため、$\sum a_n$ も発散します。

(3) $a_n = \frac{1}{n^2}\sin\frac{1}{n!}$:

$|\sin x| \le |x|$ であるから、$|a_n| = \frac{1}{n^2} |\sin\frac{1}{n!}| \le \frac{1}{n^2} \frac{1}{n!} \le \frac{1}{n^2}$.

$\sum \frac{1}{n^2}$ は収束するので、比較判定法により $\sum a_n$ も収束します。

(4) $a_n = \frac{1}{\log(n+1)}$:

$n \rightarrow \infty$ で $a_n \rightarrow 0$ ですが、十分に早く 0 に近づくかどうかを調べる必要があります。

$n > 1$ に対して $\log(n+1) < n+1 < n^2$ であるので、$a_n = \frac{1}{\log(n+1)} > \frac{1}{n^2}$ が成り立ちません。

$\log(n+1) < n$ より $a_n > \frac{1}{n}$ であるから $\sum a_n$ は発散します。

(5) $a_n = \frac{2^n}{n!}$:

比判定法を用いると、$\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \frac{n!}{2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n+1} = 0 < 1$ となり、$\sum a_n$ は収束します。

(6) $a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!}$:

比判定法を用いると、$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{((n+1)!)^2}{(2(n+1))!} \frac{(2n)!}{(n!)^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2+2n+1}{4n^2+6n+2} = \frac{1}{4} < 1$ となり、$\sum a_n$ は収束します。

(7) $a_n = (\frac{n}{n+1})^{n^2}$:

根判定法を用いると、$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} (\frac{n}{n+1})^{n} = \lim_{n \to \infty} (\frac{n+1}{n})^{-n} = \lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^{-n} = e^{-1} = \frac{1}{e} < 1$ となり、$\sum a_n$ は収束します。

(8) $a_n = (\frac{n}{n+1})^{n}$:

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (\frac{n}{n+1})^n = \lim_{n \to \infty} (\frac{n+1}{n})^{-n} = \lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^{-n} = e^{-1} = \frac{1}{e} \neq 0$ より、数列 $a_n$ は 0 に収束しないため、$\sum a_n$ は発散します。

3. 最終的な答え

(1) 収束

(2) 発散

(3) 収束

(4) 発散

(5) 収束

(6) 収束

(7) 収束

(8) 発散