$\int_0^1 x^2 \arctan(x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int_0^1 x^2 \arctan(x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて積分を計算します。

$u = \arctan(x)$ と $dv = x^2 dx$ とします。

すると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx$ と $v = \frac{x^3}{3}$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いると、

$\int x^2 \arctan(x) dx = \frac{x^3}{3} \arctan(x) - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{1+x^2} dx = \frac{x^3}{3} \arctan(x) - \frac{1}{3} \int \frac{x^3}{1+x^2} dx$

$\int \frac{x^3}{1+x^2} dx$ を計算します。

$\frac{x^3}{1+x^2} = \frac{x^3+x-x}{1+x^2} = \frac{x(x^2+1)-x}{1+x^2} = x - \frac{x}{1+x^2}$

したがって、$\int \frac{x^3}{1+x^2} dx = \int (x - \frac{x}{1+x^2}) dx = \int x dx - \int \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$

よって、

$\int x^2 \arctan(x) dx = \frac{x^3}{3} \arctan(x) - \frac{1}{3} (\frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \ln(1+x^2)) + C = \frac{x^3}{3} \arctan(x) - \frac{x^2}{6} + \frac{1}{6} \ln(1+x^2) + C$

定積分を計算します。

$\int_0^1 x^2 \arctan(x) dx = [\frac{x^3}{3} \arctan(x) - \frac{x^2}{6} + \frac{1}{6} \ln(1+x^2)]_0^1 = (\frac{1^3}{3} \arctan(1) - \frac{1^2}{6} + \frac{1}{6} \ln(1+1^2)) - (\frac{0^3}{3} \arctan(0) - \frac{0^2}{6} + \frac{1}{6} \ln(1+0^2)) = \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \ln(2) - 0 = \frac{\pi}{12} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \ln(2)$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{12} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \ln(2)$