問題28：$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の不等式を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ。 (1) $\tan \theta > \sqrt{3}$ (2) $\sqrt{3} \tan \theta + 1 \le 0$ 問題29：$-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ のとき、不等式 $-\sqrt{3} < \tan \theta < 1$ を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

問題28：$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の不等式を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ。

(1) $\tan \theta > \sqrt{3}$

(2) $\sqrt{3} \tan \theta + 1 \le 0$

問題29：$-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ のとき、不等式 $-\sqrt{3} < \tan \theta < 1$ を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

問題28 (1)

$\tan \theta > \sqrt{3}$

$\tan \theta = \sqrt{3}$ となるのは $\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき。

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で考えると、$\tan \theta$ は周期$\pi$なので、$\theta = \frac{\pi}{3}$ と $\theta = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$ が解の候補となる。

$\tan \theta$ は $\theta = \frac{\pi}{2}$ と $\theta = \frac{3\pi}{2}$ で定義されない。

$\tan \theta > \sqrt{3}$ となる範囲は、$\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{\pi}{2}$ および $\frac{4\pi}{3} < \theta < \frac{3\pi}{2}$ である。

問題28 (2)

$\sqrt{3} \tan \theta + 1 \le 0$

$\sqrt{3} \tan \theta \le -1$

$\tan \theta \le -\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ となるのは、$\theta = \frac{5\pi}{6}$ および $\theta = \frac{11\pi}{6}$ のとき。

$\tan \theta \le -\frac{1}{\sqrt{3}}$ となる範囲は、$\frac{\pi}{2} < \theta \le \frac{5\pi}{6}$ および $\frac{3\pi}{2} < \theta \le \frac{11\pi}{6}$ である。

問題29

$-\sqrt{3} < \tan \theta < 1$

$\tan \theta = -\sqrt{3}$ となるのは $\theta = -\frac{\pi}{3}$ のとき。

$\tan \theta = 1$ となるのは $\theta = \frac{\pi}{4}$ のとき。

$-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲で考えると、$-\sqrt{3} < \tan \theta < 1$ を満たす$\theta$の範囲は、$-\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{\pi}{4}$ である。

3. 最終的な答え

問題28 (1): $\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{\pi}{2}$, $\frac{4\pi}{3} < \theta < \frac{3\pi}{2}$

問題28 (2): $\frac{\pi}{2} < \theta \le \frac{5\pi}{6}$, $\frac{3\pi}{2} < \theta \le \frac{11\pi}{6}$

問題29: $-\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{\pi}{4}$