次の級数の和を求める問題です。 (1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 4n + 3}$ (2) $\sum_{n=1}^{\infty} (-\frac{1}{2})^{n-1}$

1. 問題の内容

次の級数の和を求める問題です。

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 4n + 3}$

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} (-\frac{1}{2})^{n-1}$

2. 解き方の手順

(1) 分母を因数分解し、部分分数分解を行います。

$n^2 + 4n + 3 = (n+1)(n+3)$

したがって、

$\frac{1}{n^2 + 4n + 3} = \frac{1}{(n+1)(n+3)} = \frac{A}{n+1} + \frac{B}{n+3}$

とおくと、

$1 = A(n+3) + B(n+1)$

$n = -1$ を代入すると、$1 = 2A$, $A = \frac{1}{2}$

$n = -3$ を代入すると、$1 = -2B$, $B = -\frac{1}{2}$

よって、

$\frac{1}{n^2 + 4n + 3} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+3}\right)$

したがって、級数の部分和 $S_N$ は、

$S_N = \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{2} \left(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+3}\right) = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{N} \left(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+3}\right)$

$= \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{6}\right) + \dots + \left(\frac{1}{N} - \frac{1}{N+2}\right) + \left(\frac{1}{N+1} - \frac{1}{N+3}\right) \right]$

$= \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{N+2} - \frac{1}{N+3}\right)$

$N \to \infty$ のとき、$\frac{1}{N+2} \to 0$ および $\frac{1}{N+3} \to 0$ なので、

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 4n + 3} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{3+2}{6}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{12}$

(2) これは等比級数です。初項 $a = 1$、公比 $r = -\frac{1}{2}$ です。

$|r| = \frac{1}{2} < 1$ なので、収束し、その和は

$\sum_{n=1}^{\infty} \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{12}$

(2) $\frac{2}{3}$