次の級数が発散することを示します。 (1) $\sum \cos n$ (2) $\sum (-1)^{n-1} \frac{n}{n+1}$

1. 問題の内容

次の級数が発散することを示します。

(1) $\sum \cos n$

(2) $\sum (-1)^{n-1} \frac{n}{n+1}$

2. 解き方の手順

(1) 級数 $\sum a_n$ が収束するためには、$\lim_{n\to\infty} a_n = 0$ が必要条件です。

$a_n = \cos n$ について、$\lim_{n\to\infty} \cos n$ が0に収束するかどうかを調べます。

もし0に収束しないなら、級数は発散します。

もし数列 $\cos n$ が $n \to \infty$ で0に収束すると仮定すると、数列 $\cos(n+1)$も0に収束するはずです。なぜなら$n$と$n+1$はともに無限大に発散するからです。

したがって、

$\lim_{n\to\infty} \cos n = 0$

$\lim_{n\to\infty} \cos (n+1) = 0$

$\cos(n+1) = \cos n \cos 1 - \sin n \sin 1$

$\lim_{n\to\infty} \cos(n+1) = \lim_{n\to\infty} (\cos n \cos 1 - \sin n \sin 1) = 0$

したがって、$\lim_{n\to\infty} \sin n \sin 1 = 0$

$\sin 1 \neq 0$ であるから、$\lim_{n\to\infty} \sin n = 0$

$\sin^2 n + \cos^2 n = 1$

$\lim_{n\to\infty} (\sin^2 n + \cos^2 n) = \lim_{n\to\infty} \sin^2 n + \lim_{n\to\infty} \cos^2 n = 0^2 + 0^2 = 0$

しかし、$\sin^2 n + \cos^2 n = 1$であるはずなので矛盾が発生します。

したがって、$\lim_{n\to\infty} \cos n = 0$　は誤りです。

$\lim_{n\to\infty} \cos n \neq 0$ なので、$\sum \cos n$ は発散します。

(2) 級数 $\sum a_n$ が収束するためには、$\lim_{n\to\infty} a_n = 0$ が必要条件です。

$a_n = (-1)^{n-1} \frac{n}{n+1}$ について、$\lim_{n\to\infty} a_n$ が0に収束するかどうかを調べます。

$\lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{1+\frac{1}{n}} = 1$

したがって、$\lim_{n\to\infty} (-1)^{n-1} \frac{n}{n+1}$ は、nが偶数の場合、-1に近づき、nが奇数の場合、1に近づくので、0には収束しません。

$\lim_{n\to\infty} (-1)^{n-1} \frac{n}{n+1} \neq 0$ なので、$\sum (-1)^{n-1} \frac{n}{n+1}$ は発散します。

3. 最終的な答え

(1) $\sum \cos n$ は発散する。

(2) $\sum (-1)^{n-1} \frac{n}{n+1}$ は発散する。