$\sqrt{60a}$ の値が自然数となるような自然数 $a$ のうち、最も小さいものを求めよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{60a}$ の値が自然数となるような自然数 $a$ のうち、最も小さいものを求めよ。

2. 解き方の手順

$\sqrt{60a}$ が自然数となるためには、$60a$ がある自然数の2乗となる必要がある。

まず、60を素因数分解する。

$60 = 2^2 \times 3 \times 5$

したがって、$\sqrt{60a} = \sqrt{2^2 \times 3 \times 5 \times a}$

$\sqrt{60a}$ が自然数となるためには、根号の中の数が全て偶数乗の形になる必要がある。つまり、$3 \times 5 \times a$ がある数の二乗となる必要がある。

したがって、$a$ は少なくとも $3$ と $5$ を因数に持つ必要がある。

したがって、$a = 3 \times 5 = 15$ のとき、$60a = 2^2 \times 3^2 \times 5^2 = (2 \times 3 \times 5)^2 = 30^2$ となり、$\sqrt{60a} = \sqrt{30^2} = 30$ となって自然数になる。

これより小さい $a$ では、$60a$ が自然数の二乗にならない。

例えば、$a=1$ のとき $\sqrt{60}$ は自然数ではない。$a=2$ のとき $\sqrt{120}$ も自然数ではない。

$a=3$のとき $\sqrt{180}$ は自然数ではない。$a=5$ のとき $\sqrt{300}$も自然数ではない。

3. 最終的な答え

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